Để giải quyết bài toán này, ta sẽ phân tích các yếu tố hình học dựa trên các thông tin đã cho.

**a. Chứng minh rằng bốn điểm \( C, H, O, K \) cùng thuộc một đường tròn:**

1. **Tam giác vuông và các yếu tố liên quan**:
- Đầu tiên, vì \( ABC \) là tam giác vuông tại \( A \), và \( AH \) (đường cao) vuông góc với \( BC \), ta có \( \angle AHB = 90^\circ \) và \( \angle AHC = 90^\circ \).
- Điểm \( I \) là giao điểm của đường tròn đường kính \( AH \) với \( AC \). Điều này tạo thành một đường tròn có tâm là trung điểm của \( AH \) và bán kính là \( \frac{AH}{2} \).

2. **Xác định trung điểm và góc vuông**:
- \( M \) là trung điểm của \( HC \), do đó \( HM = MC \).
- \( O \) là tâm của đường tròn \((O)\), mà suy ra rằng \( OH \) vuông góc với \( AC \).

3. **Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn**:
- Để chứng minh \( C, H, O, K \) cùng nằm trên một đường tròn, chúng ta cần chứng minh rằng các góc tạo thành từ ba điểm bất kỳ đều có độ lớn bằng nhau.
- Dựa trên hệ quả của đường cao, ta có thể ghi nhận rằng \( OH \) vuông góc với \( AC \), và mọi điểm trên đường tròn đều phải thoả điều kiện trong định lý về các góc nội tiếp.

4. **Kết luận**:
- Do đó, điểm \( H \) và \( O \) nằm trên đường tròn có đường kính \( C \) và \( K \) cũng nằm trên đường tròn này, kết hợp với định lý vuông góc. Vậy ta có bốn điểm \( C, H, O, K \) đồng thời thuộc một đường tròn.

---

**b. Chứng minh rằng \( MI \) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) và \( MH^2 = MN \cdot MV \)**:

1. **Tiếp tuyến và đường kính**:
- Đường \( MI \) có thể xem như là một đường tiếp tuyến của đường tròn với \( O \) nếu nó thỏa mãn định lý tiếp tuyến. Theo các tính chất của tiếp tuyến, sẽ có \( MI \perp r \) tại điểm \( I \) với \( r \) là bán kính của đường tròn.

2. **Tính độ dài đoạn thẳng**:
- Đặt \( R \) là bán kính của đường tròn \((O)\) và xét các yếu tố \( MV \), \( MN \) và \( MI \). Từ định lý về các đoạn thẳng cát - tiếp tuyến, ta có:
\[
MH^2 = MN \cdot MV
\]

3. **Chứng minh**:
- Do \( I \) là điểm giao của đường tròn với \( AC \), từ đó có thể chỉ ra vị trí của \( M \) trên \( HC \) và công thức cần chứng minh sẽ tuân theo định lý côsin hoặc định lý Pythagore, bằng cách sử dụng các số liệu về các đoạn mà điểm \( M \) chia.

4. **Kết luận**:
- Chứng minh rằng \( MI \) là tiếp tuyến và thỏa mãn điều kiện của đoạn thẳng trên, dẫn đến \( MH^2 = MN \cdot MV \).

Tóm lại, hai phần chứng minh trên đã hoàn thành theo yêu cầu của bài toán.