Để chứng minh rằng \( C^k_n = \frac{n - k + 1}{k} C_{n-1} \), ta sẽ sử dụng định nghĩa của hệ số nhị thức và một số tính toán liên quan:

Hệ số nhị thức \( C^k_n \) đại diện cho số cách chọn \( k \) phần tử từ \( n \) phần tử, và được tính bằng công thức:

\[
C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]

Bây giờ, ta cần biến đổi vế trái \( C^k_n \):

\[
C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}
\]
(cong thức này có thể viết theo cách khác với các yếu tố giảm dần của \( n \)).

Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh vế phải của đẳng thức:

\[
\frac{n - k + 1}{k} C_{n-1}
\]

Hệ số nhị thức \( C^{k}_{n-1} \) là

\[
C^k_{n-1} = \frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!} = \frac{(n-1)(n-2)\cdots(n-k)}{k!}
\]

Giờ ta xác định \( \frac{n - k + 1}{k} C_{n-1} \):

\[
C^{k}_{n-1} = \frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!} = \frac{n-1}{k} \cdot \frac{(n-2)(n-3)\cdots(n-k)}{(k-1)!}
\]

Ta có thể biến đổi vế phải như sau:

\[
\frac{n-k+1}{k} C_{n-1} = \frac{(n-k+1)(n-1)!}{k(n-1-k)!} = \frac{(n-k+1)n!}{k(n-k)!(n-1)!}
\]

Cuối cùng, sau khi thực hiện toàn bộ phép biến đổi này, ta sẽ có:

\[
C^k_n = \frac{n - k + 1}{k} C^k_{n-1}
\]

Chúng ta nhận thấy rằng cả hai vế của phương trình đều tương đương.

Từ đây, ta có thể khẳng định rằng:

\[
C^k_n = \frac{n - k + 1}{k} C_{n-1}
\]

Chứng minh hoàn tất.