Để phương trình \( x^2 - 2mx - m^2 - 1 = 0 \) có hai nghiệm \( x_1, x_2 \) thỏa mãn điều kiện

\[
\frac{x_1 + x_2}{x_1} = -\frac{5}{2},
\]

ta sẽ bắt đầu bằng cách sử dụng Viète.

Từ Viète, ta có:

\[
x_1 + x_2 = 2m,
\]
\[
x_1 x_2 = -m^2 - 1.
\]

Thay \( x_1 + x_2 = 2m \) vào điều kiện đã cho:

\[
\frac{2m}{x_1} = -\frac{5}{2} \implies 2m = -\frac{5}{2} x_1 \implies x_1 = -\frac{4m}{5}.
\]

Bây giờ, từ \( x_1 + x_2 = 2m \), ta có:

\[
x_2 = 2m - x_1 = 2m + \frac{4m}{5} = \frac{10m + 4m}{5} = \frac{14m}{5}.
\]

Tiếp theo, ta thay vào phương trình tích của các nghiệm:

\[
x_1 x_2 = -m^2 - 1.
\]

Thay values của \( x_1 \) và \( x_2 \):

\[
-\frac{4m}{5} \cdot \frac{14m}{5} = -m^2 - 1,
\]

suy ra:

\[
-\frac{56m^2}{25} = -m^2 - 1 \implies \frac{56m^2}{25} = m^2 + 1.
\]

Nhân cả hai vế với \( 25 \):

\[
56m^2 = 25m^2 + 25.
\]

Rút gọn:

\[
31m^2 - 25 = 0 \implies 31m^2 = 25 \implies m^2 = \frac{25}{31} \implies m = \pm \frac{5}{\sqrt{31}}.
\]

Vậy, các giá trị của \( m \) để phương trình có hai nghiệm \( x_1, x_2 \) thỏa mãn điều kiện là:

\[
m = \frac{5}{\sqrt{31}} \quad \text{hoặc} \quad m = -\frac{5}{\sqrt{31}}.
\]