Để chứng minh rằng A không phải là số chính phương, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh bằng cách xét số dư.
Ta có: A = 3 + 3^2 + 3^3 +...+3^2020
Nhận thấy rằng mỗi số hạng của A đều chia hết cho 3. Ta nhóm các số hạng lại như sau: A = (3 + 3^2) + (3^3 + 3^4) + ... + (3^2019 + 3^2020) A = 3(1+3) + 3^3(1+3) + ... + 3^2019(1+3) A = 3.4 + 3^3.4 + ... + 3^2019.4 A = 4(3 + 3^3 + ... + 3^2019)
Vì 4 chia hết cho 4, mà 3 + 3^3 + ... + 3^2019 là một số nguyên, nên A chia hết cho 4. Mặt khác, A không chia hết cho 8. Thật vậy, ta có: A = 3 + 3^2 + 3^3 +...+3^2020 A = 3(1 + 3 + 3^2 +...+ 3^2019) Tổng trong ngoặc là một số lẻ, nên A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9. Do đó, A không chia hết cho 8.
Một số chính phương khi chia hết cho 4 thì cũng chia hết cho 8. Mà A chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 8, nên A không phải là số chính phương.
Kết luận:
Vậy A = 3 + 3^2 + 3^3 +...+3^2020 không phải là số chính phương.