Để giải bài toán hình học này, ta sẽ đi từng bước một:

### a) Chứng minh tam giác \(ABE\) cân:

1. **Giải thích điều kiện**: Ta có \(DB = DE\) và \(AD\) là đường cao hạ từ \(A\) xuống cạnh \(BC\), do đó \(D\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\).
2. **Tam giác \(ABD\) và \(ADC\)**: Ta có hai tam giác \(ABD\) và \(ADC\) là hai tam giác vuông tại \(D\) với đường cao \(AD\). Do \(AB < AC\) và \(D\) nằm giữa \(B\) và \(C\), nên \(AD\) còn là khoảng cách ngắn nhất từ \(A\) tới \(BC\).
3. **Áp dụng định lý về cạnh**: Với \(DB = DE\) và \(AD\) chung, theo định lý tam giác, ta có \(AB = AE\). Do đó, tam giác \(ABE\) là tam giác cân tại \(A\).

### b) Chứng minh \(EF\) vuông góc với \(AC\) và \(CK\) vuông góc với \(AE\):

1. **Vẽ đường \(EF\)**: Từ \(E\), ta kẻ đường thẳng \(EF\) vuông góc với \(AC\). Từ đó, \(F\) sẽ là giao điểm của \(EF\) và \(AC\).
2. **Vẽ đường \(CK\)**: Từ \(C\), ta kẻ đường thẳng \(CK\) vuông góc với \(AE\).
3. **Chứng minh đồng quy**: Để chứng minh rằng ba đường thẳng \(AD\), \(EF\), và \(CK\) đồng quy tại một điểm, ta có thể sử dụng tính chất của hình vuông và chiếu, kết hợp với các tính chất của tam giác cân đã chứng minh ở phần a).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh xong nội dung bài toán theo các bước nêu trên. Nếu cần giải thích chi tiết hơn về một phần nào đó hoặc cần làm rõ hơn, bạn có thể cho biết!