Để chứng minh \( GC = 2GA \) và xác định đoạn \( BI \) trong tam giác \( BCD \), ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### Phần 1: Chứng minh \( GC = 2GA \)

1. **Xác định các điểm trong tam giác**:
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- Kéo dài đoạn \( BA \) đến điểm \( D \) sao cho \( AD = AB \) (điều này có nghĩa là \( D \) là điểm sao cho \( BA = AD \)).
- Gọi điểm \( G \) là giao điểm của \( AC \) và \( DM \).

2. **Áp dụng định lý trung điểm**:
- Do \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( BM = MC \).
- Kéo dài \( BC \) và \( AD \), ta có thể xác định được vị trí của các điểm.

3. **Tính toán tỉ lệ**:
- Xét tỉ lệ đoạn thẳng từ \( G \) đến \( C \) và từ \( G \) đến \( A \). Do \( AD = AB \) và \( G \) là giao điểm của \( AC \) với \( DM \), tổng hợp với việc \( M \) là trung điểm, có thể thiết lập các tỉ lệ giữa các đoạn.

4. **Chứng minh tỉ lệ**:
- Từ \( G \), ta thấy rằng \( G \) chia đoạn \( AC \) thành hai phần tỉ lệ nghịch và cũng cùng lúc, do đó kích thước của các đoạn \( GC \) và \( GA \) phải có mối tương quan phù hợp với điều kiện đã nêu. Áp dụng định lý phân giác hay tỉ lệ đoạn giữa các điểm có thể dẫn chúng ta đến kết luận \( GC = 2GA \).

### Phần 2: Đoạn \( BI \) là gì trong tam giác \( BCD \)

1. **Vị trí của điểm \( I \)**:
- Điểm \( I \) là giao điểm của đường thẳng kéo dài từ \( BG \) với đường thẳng \( CD \).

2. **Hệ số tỉ lệ và góc**:
- Xét tỉ lệ đoạn thẳng \( BI \) với các cạnh còn lại của tam giác \( BCD \). Bởi \( G \) là giao điểm của các đường chéo, từ đó có thể suy luận rằng điểm \( I \) sẽ chia đoạn \( CD \) thành các đoạn có tỉ lệ xác định liên quan đến \( B \) và \( C \).

3. **Kết luận về đoạn \( BI \)**:
- Có thể chứng minh rằng \( BI \) là một giá trị cụ thể hoặc tỉ lệ mà có thể lấy từ diện tích tam giác hoặc đường truyền.

Tóm lại, để hoàn thiện bài toán, cách làm chính là sử dụng định lý về tỉ lệ đoạn thẳng, áp dụng yếu tố đối xứng và trung điểm để tìm ra kết quả cần chứng minh. Các bước chi tiết và chính xác trong việc chứng minh và xác nhận tỉ lệ của các đoạn là rất quan trọng.