Để giải bài toán, trước tiên chúng ta cần xác định tọa độ của các điểm trong hình chóp \( S.ABC \).

Gọi:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(3, 0, 0) \)
- \( C(0, 4, 0) \)
- \( S(0, 0, 6) \)

### a) Tính độ dài đoạn vuông góc từ điểm S đến mặt phẳng (ABC)

Mặt phẳng (ABC) được xác định bởi ba điểm \( A, B, C \). Để tìm phương trình mặt phẳng này, ta sử dụng phương pháp xác định vectơ pháp tuyến:

1. **Xác định hai vectơ nằm trong mặt phẳng (ABC)**:
- Vectơ \( \vec{AB} = B - A = (3, 0, 0) - (0, 0, 0) = (3, 0, 0) \)
- Vectơ \( \vec{AC} = C - A = (0, 4, 0) - (0, 0, 0) = (0, 4, 0) \)

2. **Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)**:
- Vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} \)
- Tính tích có hướng:
\[
\vec{n} = (3, 0, 0) \times (0, 4, 0) = (0, 0, 12) = (0, 0, 12)
\]
- Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng: \( 0x + 0y + 12z = 0 \) hay là \( z = 0 \) (mặt phẳng nằm trên mặt phẳng tọa độ xy).

3. **Tính độ dài đoạn vuông góc từ điểm S đến mặt phẳng (ABC)**:
- Tọa độ của điểm \( S \) là \( (0, 0, 6) \) và mặt phẳng có phương trình \( z = 0 \).
- Đọ dài đoạn vuông góc là khoảng cách theo trục z, nên:
\[
d = |z_S - z_{ABC}| = |6 - 0| = 6
\]

**Kết quả**: Độ dài đoạn vuông góc từ điểm \( S \) đến mặt phẳng \( (ABC) \) là \( 6 \).

### b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC)

1. **Xác định vectơ \( \vec{SC} \)**:
- Tọa độ của điểm \( C \) là \( (0, 4, 0) \).
- Vectơ \( \vec{SC} = C - S = (0, 4, 0) - (0, 0, 6) = (0, 4, -6) \).

2. **Tính góc giữa vectơ \( \vec{SC} \) và vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \)**:
- Vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (0, 0, 12) \).
- Có công thức tính góc giữa hai vectơ:
\[
\cos \theta = \frac{|\vec{SC} \cdot \vec{n}|}{|\vec{SC}| \cdot |\vec{n}|}
\]

3. **Tính các đại lượng**:
- Tính tích vô hướng \( \vec{SC} \cdot \vec{n} \):
\[
\vec{SC} \cdot \vec{n} = (0, 4, -6) \cdot (0, 0, 12) = 0 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + (-6) \cdot 12 = -72
\]
- Tính độ dài của \( |\vec{SC}| \):
\[
|\vec{SC}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + (-6)^2} = \sqrt{0 + 16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}
\]
- Tính độ dài của \( |\vec{n}| \):
\[
|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 12^2} = 12
\]

4. **Áp dụng công thức**:
- Ta có:
\[
\cos \theta = \frac{| -72 |}{2\sqrt{13} \cdot 12} = \frac{72}{24\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}}
\]

Từ đó, tính được:
\[
\theta = \cos^{-1}\left( \frac{3}{\sqrt{13}} \right)
\]

**Kết quả**: Góc giữa đường thẳng \( SC \) và mặt phẳng \( (ABC) \) là \( \theta = \cos^{-1}\left( \frac{3}{\sqrt{13}} \right) \).