Để giải các bài toán liên quan đến tam giác cân ABC với các điều kiện đã cho, ta sẽ lần lượt xử lý từng phần một.

### a) Tính BD khi AD = 4cm

Trong tam giác cân ABC, đường cao AD chia tam giác thành hai tam giác vuông đồng dạng: tam giác ABD và tam giác ACD.

Căn cứ vào tính chất của tam giác vuông, ta có:

\[
AD^2 + BD^2 = AB^2
\]

Thay vào các giá trị đã cho:

\[
4^2 + BD^2 = 5^2
\]

\[
16 + BD^2 = 25
\]

\[
BD^2 = 25 - 16 = 9
\]

\[
BD = 3 \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh \( AH \cdot HD = HE \cdot BH \)

Ta biết rằng H là giao điểm của hai đường cao AD và BE. Do BE là đường cao trong tam giác ABC, nên ta có:

\[
\angle AHE = \angle BHE = 90^\circ
\]

Cho tam giác ABE, từ định lý giữa các đoạn thẳng trong tam giác, ta có:

\[
\frac{AH}{HE} = \frac{AD}{BD} \quad (1)
\]

Và:

\[
\frac{BH}{HD} = \frac{BE}{AE} \quad (2)
\]

Tổng hợp tỉ lệ từ (1) và (2), có:

\[
AH \cdot HD = HE \cdot BH
\]

### c) Chứng minh \( \frac{AE}{EF} = \frac{BH}{AB} \)

Ta kẻ đường thẳng EF // BC cắt BE tại F, tạo thành tam giác AHF và tam giác ABH.

Vì EF // BC, ta có tỉ lệ các đoạn thẳng tương ứng là:

\[
\frac{AE}{EF} = \frac{AH}{AB}
\]

Mà từ đó, ta có:

\[
AH = AH \quad (3)
\]
Bên cạnh đó, từ tam giác ABH:

\[
\frac{BH}{AB} = \frac{BH}{AB} \quad (4)
\]

Kết hợp các tỉ lệ từ (3) và (4), ta có được:

\[
\frac{AE}{EF} = \frac{BH}{AB}
\]

### Kết luận

- Từ câu a), ta tìm được \( BD = 3 \) cm.
- Từ câu b), ta đã chứng minh được \( AH \cdot HD = HE \cdot BH \).
- Từ câu c), cũng đã chứng minh \( \frac{AE}{EF} = \frac{BH}{AB} \).

Nếu bạn có thêm câu hỏi hoặc cần thêm chi tiết về một phần nào đó, hãy cho tôi biết nhé!