Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần.

**a) Chứng minh tam giác ABC = tam giác ADC và CA là đường phân giác của tam giác BCD.**

1. **Chứng minh tam giác ABC = tam giác ADC:**

- Ta có tam giác ABC vuông tại A, với AC = 12 cm. Vì tam giác vuông tại A, ta có các góc góc A = 90 độ.
- Do AB = AD (theo đề bài), nên ta có AB = AD.
- Gọi BC = x. Ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2 \Rightarrow AB^2 + 12^2 = x^2
\]
- Tương tự, trong tam giác ADC vuông tại A cũng có:
\[
AD^2 + AC^2 = DC^2 \Rightarrow AB^2 + 12^2 = DC^2
\]
- Do đó, từ hai phương trình trên, ta có:
\[
BC^2 = DC^2 \Rightarrow BC = DC
\]
- Như vậy, ta có AB = AD và BC = DC, và góc A = 90 độ ⇒
\[
\text{Tam giác ABC = Tam giác ADC (theo tiêu chuẩn cạnh, cạnh, góc)}.
\]

2. **Chứng minh CA là đường phân giác của tam giác BCD:**

- Đặt BK = KC (vì K là trung điểm của BC).
- Do tam giác ABC = tam giác ADC, nên góc BAC = góc DAC.
- Lại có AB = AD ⇒
\[
CA = CA \text{ (cạnh chung)}.
\]
- Do đó, theo tiêu chuẩn góc, cạnh, cạnh, ta suy ra CA là phân giác của góc BCD.

**b) Tính độ dài đoạn thẳng MC:**

- Trên đường thẳng AC, M là điểm mà đường thẳng DK cắt AC. Ta cần tìm MC.
- Gọi \( AB = x \). Thì theo định lý Pythagore:
\[
BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + x^2}.
\]
- Để tìm MC, ta có thể sử dụng tỉ số trong tam giác BCD:
- Xét tỉ lệ \( \frac{BM}{MC} = \frac{AB}{DC} \).

Vì \( AB = AD \) và \( BC = DC \), ta có thể tính được cạnh MC bằng cách lấy tỉ số. Giả sử ta chưa biết được x (khoảng cách AB), có thể sử dụng các thông tin vừa tìm để nỗ lực tìm DC (vì điều này liên quan đến tìm điểm D).

Nếu tiếp tục từ đây, bạn có thể vẽ hình để dễ dàng tính được hoặc đưa ra được các thông số cụ thể nhằm tính toán, vì độ dài của đoạn thẳng MC phụ thuộc vào AB (mà từ đó, ta có thể xác định được DC và rồi từ đó đến MC).

Hypothetically, nếu ta đã tính được AB (giả sử từ việc có một số đo cụ thể nào đấy), thì:
\[
MC = \frac{CA \cdot AB}{AB + DC}.
\]

Hy vọng bạn có thể tiếp tục từ các phép tính ở trên để có được giá trị độ dài MC cụ thể hơn, phụ thuộc vào giá trị thực tế của AB.