Để chứng minh các phần a), b), c) của bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và tính chất của đường cao.

### a) Chứng minh tam giác BCD = tam giác CBE

- Trong tam giác ABC cân tại A, ta có AB = AC.
- Đường cao BD vuông góc với AC và đường cao CE vuông góc với AB.
- Ta có:
- \(BH = HC\) (vì H là chân đường cao của BD)
- \(CH = HB\) (vì H là chân đường cao của CE)
- \(BC = BC\) (cạnh chung)

- Suy ra, bằng tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CC) hoặc cạnh-góc-cạnh (CGC), ta có:
\[\triangle BCD \cong \triangle CBE\]

### b) Chứng minh tam giác BHC cân

- Minh chứng tam giác BHC cân, ta xét hai cạnh BH và HC:
- Ta có \( BH = HC\) vì H là chân đường cao, và do ABC cân nên các đoạn này sẽ có độ dài bằng nhau.
- Vậy ta có:
- \(BX = CX\) (BH = HC)
- Cạnh BC là chung.

Do đó,
\[\triangle BHC\] là tam giác cân.

### c) Chứng minh tia AH là phân giác của góc BAC

- Trong tam giác ABC cân tại A, để chứng minh AH là phân giác của góc BAC, ta sẽ chứng minh rằng:
- Hai đoạn đoạn AB và AC tạo với AH có cùng góc, nghĩa là góc BAH = góc CAH.

- Với H là giao điểm của các đường cao, có:
- \(AH\) là đường cao và đồng thời là đường phân giác của góc BAC.

Vì tam giác ABC là tam giác cân, hai góc ở B và C là bằng nhau. Do đó, HA là một tia chia đôi góc BAC.

Từ ba phần chứng minh trên, ta đã hoàn thành bài toán.