Để giải quyết bài toán này, trước hết chúng ta cần hiểu rõ các thông tin đã cho và thực hiện các bước lập luận hình học theo từng phần của bài toán.

### Phân tích và giải:

**Thông tin đề bài:**
- Tam giác \( ABC \) vuông cân tại \( A \), do đó \( AB = AC \) và góc \( \angle BAC = 90^\circ \).
- Đường cao \( AH \).
- \( AE \) là phân giác của góc vuông \( \angle BAC \), do đó \( E \) thuộc \( AC \) vì \( E \) thuộc \( AH \).
- Kẻ \( EI \perp AC \) (với \( I \in AC \)).

**Phần a:**
Dễ thấy rằng \( EI \) được kẻ từ \( E \) vuông góc với \( AC \), vì vậy \( I \) là chân đường vuông góc hạ từ \( E \) xuống \( AC \).

**Phần b:**
- Điểm \( K \) thuộc \( AB \).
- Điểm \( M \) thuộc tia đối của \( AC \) sao cho \( AK = AM \).

**Chứng minh \( BM \) vuông góc với \( CK \):**

1. **Tính chất đối xứng:**
- Do tam giác \( ABC \) vuông cân tại \( A \), chúng ta có \( \angle BAC = 90^\circ \), \( AB = AC \).
- Vì \( AE \) là phân giác của \( \angle BAC \), đường thẳng \( AE \) cũng là đường trung tuyến của tam giác vuông cân \( ABC \), từ đó suy ra \( E \) là trung điểm của \( BC \).

2. **Phép đối xứng trục qua \( AH \):**
- Vì \( AH \) là đường cao của tam giác vuông cân và đồng thời là phân giác của góc \( A \), nó cũng là trục đối xứng của tam giác vuông cân.
- Khi phản xạ điểm \( K \) qua trục đối xứng \( AH \), chúng ta nhận được điểm \( M \).

3. **Chứng minh \( BM \) vuông góc với \( CK \):**
- Do \( AK = AM \) và \( AH \) là đường trung trực của đoạn \( KM \).
- Từ \( C \), \( I \) và \( E \) đều nằm trên \( AH \), ta biết \( C \) và \( M \) đối xứng qua đường trung trực, do đó, \( CK \) sẽ cắt \( BM \) tại một góc vuông.

Như vậy, nhờ vào sự đối xứng và tính chất của tam giác vuông cân, chúng ta có thể chứng minh được \( BM \perp CK \).