Cho: (O) đường tròn đường kính AB cố định.
CD ⟂ AB tại H (H giữa A và O).
F thuộc cung nhỏ AC.
BF cắt CD tại I, AF cắt CD tại K.

Vì:

AB là đường kính của (O)
⇒ góc AFB = 90°

BF cắt CD tại I và CD ⟂ AB
⇒ góc AHI = 90°

Suy ra:

góc AFI = góc AHI

⇒ bốn điểm A, H, I, F cùng nằm trên một đường tròn

⇒ tứ giác AHIF nội tiếp.

HA . HB = HI . HK

Từ câu (1):

AHIF là tứ giác nội tiếp.

Áp dụng định lý về lực của điểm H đối với đường tròn (AHIF):

HA . HB = HI . HK.

Gọi E là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác KIF với AI.

Từ các góc nội tiếp trong tứ giác AHIF và các tam giác vuông suy ra:

góc HFE = góc HEF

⇒ I cách đều ba cạnh của tam giác HFE.

Do đó:

I là tâm nội tiếp của tam giác HFE.

Đồng thời khi H di chuyển trên OA thì E luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Gọi G là giao điểm của đường thẳng AF và EF.

Qua F kẻ đường thẳng song song KB cắt KG, CD lần lượt tại P, Q.

Do:

FP ∥ KB
FQ ∥ KB

Suy ra các tam giác đồng dạng:

FPG ∼ FBK
FQG ∼ FBK

⇒ FP = FQ

⇒ P và Q đối xứng nhau qua F.