Bài 2b
Đặt A = n⁵ - n
= n.(n⁴ - 1)
= n.(n² + 1)(n² - 1)
= n.(n² + 1)(n - 1)(n + 1) (chia hết cho 6, vì chia hết cho 2, 3) (1)
= n.(n² - 4 + 5)(n - 1)(n + 1)
= n[(n-2)(n+2)+5](n - 1)(n + 1)
= [n(n-2)(n+2)+5n](n - 1)(n + 1)
= n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) + 5n(n - 1)(n + 1)
{n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) chia hết cho 5
{5n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 5
=> n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) + 5n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 5
=> A chia hết cho 5 (2)
(1)(2)=> A chia hết cho 30 do (5,6)=1

Bài 2c 3x² + 4y² + 6x + 3y - 4 = 0
<=> 3x² + 6x + 4y² + 3y - 4 = 0
∆'x = 3² - 3( 4y² + 3y - 4 ) = -12y² - 9y + 21
= -3(4y² + 3y - 7)
Để phương trình nghiệm x nguyên thì ∆'x phải là số chính phương.
=> ( 4y² + 3y - 7) = -3t² (*)
<=> 4y² + 3y - 7 + 3t² = 0 ( Coi y là nghiệm, t là tham số)
∆y = 3² - 4*( 4)* ( - 7 + 3t²) = 9 + 16( 7 - 3t²) = 121 - 48t²
Để phương trình (*)nghiệm y nguyên thì ∆y phải là số chính phương.
Và ∆y = 121 - 48t² ≥ 0 => -1 ≤ t ≤ 1 (vì t nguyên)
=> t = ±1 => ∆y = 73 (loại vì không phải số chính phương)
=> t = 0 => ∆y = 121 = 11² ( nhận)
=> y = ( -3 ± 11) / 2*4 =>
y = -14/8 (loại)
hoặc y = 1 (nhân) => ∆'x = 0 => Có nghiệm kép x = -1
Vậy x = -1 ; y = 1

Bài 3b đặt x = 2căna - 5 , y = 2cănb - 5 và z = 2cănc - 5 với x,y,z lớn hơn 0
ta có a = (x + 5)^2 / 4 , b = (y + 5)^2 / 4 và c = (z + 5) / 4
thay vào ta có
4Q = x^2/y + y^2/z + z^2/x + 10(x/y +y/z + z/x) + 25(1/x + 1/y + 1/z)
+ ta có x^2/y + y^2/z + z^2/x >=3.∛(xyz)
25(1/x + 1/y + 1/z) >= 25.3.∛(1/xyz)
=> x^2/y + y^2/z + z^2/x + 25(1/x + 1/y + 1/z) >= 3.∛(xyz) + 25.3.∛(1/xyz) >=2√(3.3.25) = 30
và (x/y +y/z + z/x) >= 3
=> 4Q >= 30 + 3 = 33 hay Q >= 33/4
dấu = xảy ra khi x = y = z = 5 hay a = b = c = 25

Bài 3b
đặt x = 2căna - 5 , y = 2cănb - 5 và z = 2cănc - 5 với x,y,z lớn hơn 0
ta có a = (x + 5)^2 / 4 , b = (y + 5)^2 / 4 và c = (z + 5) / 4
thay vào ta có
4Q = x^2/y + y^2/z + z^2/x + 10(x/y +y/z + z/x) + 25(1/x + 1/y + 1/z)
+ ta có x^2/y + y^2/z + z^2/x >=3.∛(xyz)
25(1/x + 1/y + 1/z) >= 25.3.∛(1/xyz)
=> x^2/y + y^2/z + z^2/x + 25(1/x + 1/y + 1/z) >= 3.∛(xyz) + 25.3.∛(1/xyz) >=2√(3.3.25) = 30
và (x/y +y/z + z/x) >= 3
=> 4Q >= 30 + 3 = 33 hay Q >= 33/4
dấu = xảy ra khi x = y = z = 5 hay a = b = c = 25