1. Xét tứ giác ANBD có EN = ED ; EA = EB

=> Tứ giác ANBD là hình bình hành

2.a) Để hình bình hành ANBD là hình chữ nhật thì ˆADB=90oADB^=90o

Xét ΔABCΔABC có AD là trung tuyến ; AD là đường cao

=> ΔABCΔABC cân tại A

Vậy ΔABCΔABC cân tại A thì tứ giác ANBD là hình chữ nhật

b) Để hình bình hành ANBD là hình thoi thì AB⊥NDAB⊥ND

Có ED // AC (theo tính chất đường trung bình ) ; AB⊥ND⇒AC⊥ABAB⊥ND⇒AC⊥AB

=> ΔABCΔABC vuông tại A

Vậy để tứ giác ANBD là hình thoi thì ΔABCΔABC vuông tại A

c) Để hình bình hành ANBD là hình vuông thì tứ giác ANBD vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi

=> ΔABCΔABC vuông cân tại A

Vậy ΔABCΔABC vuông cân tại A thì tứ giác ANBD là hình vuông

3. Có AN // DB => AN // CD

AN = DB (vì tứ giác ANBD là hình bình hành ) mà BD = DC => AN = DC

=> Tứ giác ANDC là hình bình hành

mà M là giáo điểm của AD và NC

=> NM = MC

Xét ΔNDCΔNDC có EN = ED ; MN = MC

=> EM là đường trung bình

=> EM = 12DC(1)12DC(1)

mà DC=BD=12BCDC=BD=12BC (2)

=> EM=14BC