Trong đường tròn (O) ta có:

   AB ⊥ DE tại K

=>KD = KE ( đường kính vuông góc với dây cung)

và KB = KC (gt)

Tứ giác BDCE là hình bình hành.

Lại có: BC ⊥ DE

Suy ra tứ giác BDCE là hình thoi

b) Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại D.

=>AD ⊥ BD

Tứ giác BDCE là hình thoi nên EC // BD

=> EC ⊥ AD                      (1)

Tam giác AIC nội tiếp trong đường tròn (O¢) có AC là đường kính nên vuông tại I.

=> AI ⊥ CE                       (2)

Từ (1) và (2)=> D, A, I thẳng hàng

IK là trung tuyến thuộc cạnh huyền DE nên:

KI=KD=1/2ED ( tính chất tam giác vuông)

=> tam giác IKD cân tại K

=> ˆKID=ˆKDI hay ˆKIA=ˆKDA   (3)

Ta có: O’A = O’I ( = R)

nên tam giác O’IA cân tại O’

=>ˆO′AI=ˆO′IA ( tính chất tam giác cân)

Mà: ˆO′AI=ˆKAD (đối đỉnh)

=> ˆO′IA=ˆKADO                                (4)

Từ (3) và (4) => ˆKIO′=90∘ hay KI ⊥ O’I tại I.

Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’).