Dễ dàng thấy: $n^2 > n^2 - 1 = (n-1)(n+1)$
Suy ra : $\frac{1}{n^2} < \frac{1}{(n-1)(n+1)}$​
Áp dụng điều trên, ta được:
$\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{{2016}^2}+\frac{1}{{2017}^2} < \frac{1}{2\times 4}+ \frac{1}{3\times 5}+...+\frac{1}{2015\times 2017}+\frac{1}{2016\times 2018}$
Nhóm các phần tử thuộc vế phải có mẫu là tích của hai số chẵn, và là tích của hai số lẻ thành hai nhóm lần lượt là A và B.
$$\begin{gathered} A = \frac{1}{2\times 4}+\frac{1}{4\times 6}+...+\frac{1}{2016x2018} \\ \Rightarrow 2A =\frac{2}{2\times 4}+\frac{2}{4\times 6}+...+\frac{2}{2016x2018} \\ \Rightarrow 2A =\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2018} \\ \Rightarrow 2A = \frac{1}{2}-\frac{1}{2018}=\frac{1005}{2018} \\ \Rightarrow A = \frac{1005}{4036}<\frac{1005}{4000} \left(1\right) \end{gathered}$$
Tương tự, dễ dàng suy ra : $2B = \frac{1}{3}-\frac{1}{2017}=\frac{2014}{6051} \Rightarrow B = \frac{1007}{6051}<\frac{1007}{6000} \left(2\right)$
Từ (1)(2), suy ra:
$\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{{2016}^2}+\frac{1}{{2017}^2}<A+B < \frac{1005}{4000}+\frac{1007}{6000}=\frac{5029}{12000}<\frac{4}{9}$
Từ đó, ta có đpcm.