Ta thấy trong 3 số thực dương a;b;c luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn hay nhỏ hơn hoặc bằng 1.Giả sử 2 số đó là b,c

Khi đó (b−1)(c−1)≥0(b−1)(c−1)≥0

⇔bc≥b+c−1≥0⇔bc≥b+c−1≥0⇒2abc≥2ab+2ac−2a⇒2abc≥2ab+2ac−2a

Do đó a2+b2+c2+2abc+1≥a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1a2+b2+c2+2abc+1≥a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1

Nên bây giờ ta chứng minh :a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1≥2(ab+bc+ca)a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1≥2(ab+bc+ca)

                                            ⇔(a−1)2+(b−c)2≥0⇔(a−1)2+(b−c)2≥0(luôn đúng)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1