a.Ta có AK⊥CK,AH⊥CHAK⊥CK,AH⊥CH

→ˆAKC+ˆAHC=90o+90o=180o→AKC^+AHC^=90o+90o=180o

→A,H,C,K→A,H,C,K thuộc đường tròn đường kính AC

b. Vì ADAD là đường kính của (O)
→AB⊥BD→AB⊥BD

Mà BH⊥AD→AB2=AH.ADBH⊥AD→AB2=AH.AD

c. Vì BC⊥AD→B,CBC⊥AD→B,C đối xứng qua AD
→ˆABC=ˆACB→ABC^=ACB^

Mà AMCBAMCB nội tiếp (O)→ˆKMC=ˆABC(O)→KMC^=ABC^

→ˆNMK=ˆAMB=ˆACB=ˆABC=ˆKMC→NMK^=AMB^=ACB^=ABC^=KMC^

Xét 2 tam giác vuông ΔMKNΔMKN và ΔMKCΔMKC có:

KMKM chung

ˆNMK=ˆKMCNMK^=KMC^ (cmt)

⇒ΔMKN=ΔMKC⇒ΔMKN=ΔMKC (cạnh góc vuông-góc nhọn)

⇒KN=KC⇒AK⇒KN=KC⇒AK vừa là đường cao vừa là trung tuyến ΔANCΔANC

⇒ΔANC⇒ΔANC cân đỉnh AA.

d. Vì ΔACNΔACN cân tại A →AN=AC→AN=AC

Mà B,C đối xứng qua AD
→AC=AB→AN=AB→ΔABN→AC=AB→AN=AB→ΔABN cân đỉnh AA

Lấy E là trung điểm BN→AE⊥BN→AE⊥BN

→E là trung điểm BN

→SABN=12AE.BN=12AE.2BE=AE.BE≤AE2+BE22=AB22

Dấu = xảy ra khi AE=BE→ˆABE=45o