Bài 16. Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(4x + y + 2z + 1 = 0\) và mặt phẳng \((β)\) có phương trình \(2x - 2y + z + 3 = 0\).
a) Chứng minh rằng \((α)\) cắt \((β)\).
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là giao của \((α)\) và \((β)\).
c) Tìm điểm \(M'\) đối xứng với điểm \(M(4 ; 2 ; 1)\) qua mặt phẳng \((α)\).
d) Tìm điểm \(N'\) đối xứng với điểm \(N(0 ; 2 ; 4)\) qua đường thẳng \(d\).
Giải
a) Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (4; 1; 2)\)
Mặt phẳng \((β)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'}  = (2; -2; 1)\)
Vì \({4 \over 2} \ne {1 \over { - 2}} \ne {2 \over 1} \Rightarrow \overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {n'} \) không cùng phương.
Suy ra \((α)\) và \((β)\) cắt nhau.
b) \((α)\) cắt \((β)\) nên \(\overrightarrow \) và \(\overrightarrow \) có giá vuông góc với đường thẳng \(d\), vì vậy vectơ \(\overrightarrow  = \left[ {\overrightarrow , \overrightarrow } \right]= (5; 0; -10\)) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
Ta có thể chọn vectơ \(\overrightarrow u = (1; 0; -2)\) làm vectơ chỉ phương.
Ta tìm một điểm nằm trên \(d\).
Xét hệ\(\left\{ \matrix{
4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr
2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.\)
Lấy điểm \(M_0(1; 1; -3) ∈ d\). 
Phương trình tham số của \(d\) là:\(\left\{ \matrix{
x = 1 + s \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr
z = - 3 - 2s \hfill \cr} \right.\)
c) Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (4; 1; 2)\).
Đường thẳng \(∆\) đi qua \(M(4; 2; 1)\) và vuông góc với \((α)\), nhận vectơ \(\overrightarrow n \) làm vectơ chỉ phương và có phương trình tham số: 
\(\left\{ \matrix{
x = 4 + 4t \hfill \cr
y = 2 + t \hfill \cr
z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.\)
Trước hết ta tìm toạ độ hình chiếu \(H\) của \(M\) trên \((α)\) bằng cách thay các biểu thức của \(x, y, z\)  theo \(t\) vào phương trình của \((α)\), ta có:
\(4(4 + 4t) + (2 + t) + 2(1 + 2t) + 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow 21t + 21 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\)
Từ đây ta tính được \(H (0; 1; -1)\)
Gọi \(M' (x; y; z)\) là điểm đối xứng với \(M\) qua mp \((α)\) thì \(\overrightarrow {MM'}  = 2\overrightarrow {MH} \):
\(\overrightarrow {MH} = (-4; -1; -2)\)
\(\overrightarrow {MM'} = (x - 4; y - 2; z - 1)\). 
\(\overrightarrow {MM'} = 2\overrightarrow {MH} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - 4 = 2.( - 4) \Rightarrow x = - 4 \hfill \cr
y - 2 = 2.( - 1) \Rightarrow y = 0 \hfill \cr
z - 1 = 2.( - 2) \Rightarrow z = - 3 \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow M( - 4;0; - 3)\)
d) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = (1; 0; -2)\).
Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(N(0; 2; 4)\) và vuông góc với \(d\), nhận \(\overrightarrow a \) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình:
\(1(x - 0) + 0(y - 2) - 2(z - 4) = 0\)
\((P)\): \(x - 2y + 8 = 0\)
Ta tìm giao điểm \(I\) của \(d\) và \((P)\). Ta có:
\(t - 2(-1 - 2t) + 8 = 0\)\( \Leftrightarrow  5t + 10 = 0\Leftrightarrow  t = -2\)
\( \Leftrightarrow I( -2; 1; 3)\)
\(N' (x; y; z)\) là điểm đối xứng của \(N\) qua \(d\) thì \(\overrightarrow {NN'}  = 2\overrightarrow {NI} \)
\(\overrightarrow {NI} = (-2; -1; -1)\), \(\overrightarrow {NN'}  = (x; y - 2; z - 4) \)
\( \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = ( - 2).2 \hfill \cr
y - 2 = ( - 1).2 \hfill \cr
z - 4 = ( - 1).2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = - 4 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = 2 \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow N'( - 4;0;2)\)