Bài 15. Cho hai đường thẳng chéo nhau
d :\(\left\{ \matrix{
x = 2 - t \hfill \cr 
y = - 1 + t \hfill \cr 
z = 1 - t \hfill \cr} \right.\) và \(d':\left\{ \matrix{
x = 2 + 2k \hfill \cr 
y = k \hfill \cr 
z = 1 + k. \hfill \cr} \right.\)
a) Viết phương trình các mặt phẳng \((α)\) và \((β)\) song song với nhau và lần lượt chứa \(d\) và \(d'\).
b) Lấy hai điểm \(M(2 ; -1 ; 1)\) và \(M'(2 ; 0 ; 1)\) lần lượt trên \(d\) và \(d'\). Tính khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \((β)\) và khoảng cách từ \(M'\) đến mặt phẳng \((α)\). So sánh hai khoảng cách đó.
Giải
a) Mặt phẳng \((α)\) chính là mặt phẳng chứa \(d\) và song song với \(d'\)
\(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = (-1; 1; -1)\).
\(d'\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {a'}  = (2; 1; 1)\)
Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của \((α)\) vuông góc với \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \) nên:
\(\overrightarrow n  = (1.1 - 1.(-1); (-1).2 - 1.(-1); (-1).1 - 2.1) \)
      \(= (2; -1; -3)\)
Đường thẳng \(d\) chứa điểm \(A(2; -1; 1)\). Mặt phẳng \((α)\) chứa \(d\) nên chứa điểm \(A\). Phương trình của \((α)\):
\(2(x - 2) - 1(y + 1) - 3(z - 1) = 0\)
\( \Leftrightarrow  2x - y - 3z - 2 = 0\)
Tương tự ta có \((β)\): \( 2x - y - 3z - 1 = 0\)
b) Ta có: \(d (M,(β))\) =\({{\left| {2.2 - 1.( - 1) - 3.1 - 2} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 3)}^2}} }} = {1 \over {\sqrt {14} }}\)
Tương tự, ta có: \(d (M',(α))\) = \({1 \over {\sqrt {14} }}\)
\(\Rightarrow d(M,(β)) = d(M', (α))\)