Bài 3. Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng \(u_1, n, d, u_n, S_n\).
a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?
b) Lập bảng theo mẫu sau và điền vào chỗ trống thích hợp:
 
Hướng dẫn giải:
a) Cần biết ít nhất ba trong năm đại lượng \(u_1, n, d, u_n, S_n\) thì có thể tính được hai đại lượng còn lại.
b) Thực chất đây là năm bài tập nhỏ, mỗi bài ứng với các dữ liệu ở một dòng. Học sinh phải giải từng bài nhỏ rồi mới điền kết quả.
b1) Biết \(u_1= -2, u_n= 55, n = 20\). Tìm \(d, S_n\)   
Áp dụng công thức \(d = {{{u_n} - {u_1}} \over {n - 1}},{S_n} = {{({u_1} + {u_n}).n} \over 2}\)
Đáp số: \(d = 3, S_{20}= 530\).
b2) Biết \(d = -4, n = 15\), \(S_n= 120\). Tìm \(u_1,u_n\)
Áp dụng công thức \(u_n= u_1+ (n - 1)d\) và \({S_n} = {{({u_1} + {u_n}).n} \over 2}\)
ta có: 
\(\left\{ \matrix{
{u_1} - {u_{15}} = 56 \hfill \cr
{u_1} + {u_{15}} = 16 \hfill \cr} \right.\)
Giải hệ trên, ta được \(u_1= 36, u_{15}= - 20\).
b3) Áp dụng công thức \(u_n= u_1+ (n - 1)d\), từ đây ta tìm được \(n\); tiếp theo áp dụng công thức \({S_n} = {{({u_1} + {u_n}).n} \over 2}\). Đáp số: \(n = 28\), \(S_n= 140\).
b4) Áp dụng công thức \({S_n} = {{({u_1} + {u_n}).n} \over 2}\), từ đây tìm được \(u_1\), tiếp theo áp dụng công thức \(u_n= u_1+ (n - 1)d\) để tìm \(d\). Đáp số: \(u_1= -5, d= 2\).
b5) Áp dụng công thức \({S_n} = {{\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right].n} \over 2}\), từ đây tìm được \(n\), tiếp theo áp dụng công thức \(u_n= u_1+ (n - 1)d\). Đáp số: \(n = 10, u_n= -43\).