Bài 4. Chứng minh rằng \(sin2(x + kπ) = sin 2x\) với mọi số nguyên \(k\). Từ đó vẽ đồ thị hàm số \(y = sin2x\).
Đáp án :
Do \(sin (t + k2π)\) = \(sint\), \(\forall k \in Z\) (tính tuần hoàn của hàm số f\((t) = sint)\), từ đó
\(sin(2π + k2π) = sin2x \Rightarrow sin2(tx+ kπ) = sin2x\), \(∀k ∈ Z\).
Do tính chất trên, để vẽ đồ thị của hàm số \(y = sin2x\), chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên một đoạn có độ dài \(π\) (đoạn \(\left[ { - {\pi  \over 2};{\pi  \over 2}} \right]\) Chẳng hạn), rồi lại tịnh tiến dọc theo trục hoành sang bên phải và bên trái từng đoạn có độ dài \(π\) .
Với mỗi \(x_0 \in\) \(\left[ { - {\pi  \over 2};{\pi  \over 2}} \right]\) thì \(x = 2x_0\in [-π ; π]\), điểm \(M(x ; y = sinx)\) thuộc đoạn đồ thị \((C)\) của hàm số \(y = sinx\), \((x ∈ [-π ; π])\) và điểm \(M’(x_0 ; y_0 = sin2x_0)\) thuộc đoạn đồ thị \((C’)\) của hàm số \(y = sin2x\), ( \(x ∈\) \(\left[ { - {\pi  \over 2};{\pi  \over 2}} \right]\)) (h.5).
Chú ý rằng, \(x = 2x_0 \Rightarrow sinx = sin2x_0\) do đó hai điểm \(M’\), \(M\) có tung độ bằng nhau nhưng hoành độ của \(M’\) bằng một nửa hoành độ của \(M\). Từ đó ta thấy có thể suy ra \((C’)\) từ \((C)\) bằng cách “co” \((C)\) dọc theo trục hoành như sau :
- Với mỗi \(M(x ; y) ∈ (C)\), gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) xuống trục \(Oy\) và \(M’\) là trung điểm của đoạn \(HM\) thì \(M’\) \(\left( \right\}\) ).