Bài 7. Cho hàm số y = \(\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+m\).
         a) Với giá trị nào của tham số \(m\), đồ thị của hàm số đi qua điểm \((-1 ; 1)\)?
         b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số khi \(m = 1\).
         c) Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm có tung độ bằng \(\frac{7}{4}\).
Hướng dẫn giải:
a) Điểm \((-1 ; 1)\) thuộc đồ thị của hàm số \(⇔1=\frac{1}{4}(-1)^{4}+\frac{1}{2}(-1)^{2}+m\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}\).
b) \(m = 1\) \(\Rightarrow y=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+1\) .
Tập xác định:\(\mathbb R\).
* Sự biến thiên:
\(y'=x^{3}+x=x(x^{2}+1); y' = 0 ⇔ x = 0\).
- Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((-\infty;0)\)
- Cực trị:
    Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}=1\)
- Giới hạn: 
   \(\eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = + \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = + \infty \cr} \)
- Bảng biến thiên:
        
* Đồ thị 
Đồ thị hàm số giao trục \(0y\) tại điểm \((0;1)\).

 c) \(\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+1=\frac{7}{4}\Leftrightarrow x^{4}+2x^{2}-3=0\Leftrightarrow x^{2}=1\Leftrightarrow x=\pm 1.\)Vậy hai điểm thuộc \((C)\) có tung độ \(\frac{7}{4}\) là \(A(1 ; \frac{7}{4})\) và \(B(-1 ; \frac{7}{4})\). Ta có \(y'(-1) = -2, y'(1) = 2\).
Phương trình tiếp tuyến với \((C)\) tại \(A\) là: \(y - \frac{7}{4}= y'(1)(x - 1) ⇔ y = 2x -\frac{1}{4}\)
Phương trình tiếp tuyến với \((C)\) tại \(B\) là : \(y - \frac{7}{4}= y'(-1)(x + 1) ⇔ y = -2x - \frac{1}{4}\).