Bài 2. Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Gọi \(G\) và \(H\) tương ứng là trọng tâm và trực tâm của tam giác, các điểm \(A',B',C'\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC, CA, AB\).
a) Tìm phép vị tự \(F\) biến \(A, B, C\) tương ứng thành \(A',B',C'\)
b) Chứng minh rằng \(O, G, H\) thẳng hàng.
c) Tìm ảnh của \(O\) qua phép vị tự \(F\)
d) Gọi \(A”, B”, C”\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AH, BH, CH\); \(A_1, B_1, C_1\) theo thứ tự là giao điểm thứ hai của các tia \(AH, BH, CH\) với đường tròn \((O)\); \(A_1',B_1',C_1'\) tương ứng là chân các đường cao đi qua \(A, B, C\). Tìm ảnh của \(A, B, C\), \(A_1, B_1, C_1\) qua phép vị tự tâm \(H\) tỉ số \({1 \over 2}\)
e) Chứng minh chín điểm \(A',B',C'\),\(A”, B”, C”\),\(A_1',B_1',C_1'\)cùng thuộc một đường tròn (đường tròn này gọi là đường tròn Ơ-le của tam giác \(ABC\))
Giải

a) Ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {GA'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GA} ; \cr
& \overrightarrow {GB'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GB} ; \cr
& \overrightarrow {GC'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GC} \cr}\).
Vậy phép vị tự tâm \(G\) tỉ số \(k =  - {1 \over 2}\) biến \(A, B, C\) thành \(A’, B’, C’\).
b) \(A’\) là trung điểm của dây \(BC\) nên \(OA’ ⊥ BC\)
Ta lại có \(BC // C’B’\) nên \(OA’ ⊥ B’C’ ⇒\) Trong tam giác \(A’B’C’\) thì \(OA’\) là đường cao kẻ từ đỉnh \(A’\). Tương tự, \(OB’\) là đường cáo kẻ từ \(B’\), suy ra \(O\) là trực tâm của \(∆A’B’C’\).
\(H\) là trực tâm của \(∆ABC\) và \(O\) là trực tâm của \(∆A’B’C’\) nên \(O\) là ảnh của \(H\) trong phép vị tự tâm \(G\), tỉ số \(k =  - {1 \over 2}\)
\(\overrightarrow {GO}  =  - {1 \over 2}\overrightarrow {GH} \) 
\(⇒\) Ba điểm \(O, G, H\) thẳng hàng
c) Gọi \(O’\) là ảnh của \(O\) trong phép vị tự \({F_{\left( {G; - {1 \over 2}} \right)}}\) ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {GO'} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GO} \cr
& \overrightarrow {GO} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GH} \to \overrightarrow {OG} = {1 \over 2}\overrightarrow {GH} \cr
& \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GO'} = {1 \over 2}\overrightarrow {GH} - {1 \over 2}\overrightarrow {GO} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {OO'} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {GH} - \overrightarrow {GO} } \right) \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {OO'} = {1 \over 2}\overrightarrow {OH} \cr} \) 
Đẳng thức này chứng tỏ điểm \(O’\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OH\)
d) Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {HA''} = {1 \over 2}\overrightarrow {HA} \cr
& \overrightarrow {HB''} = {1 \over 2}\overrightarrow {HB} \cr
& \overrightarrow {HC''} = {1 \over 2}\overrightarrow {HC} \cr} \) 
Vậy \(A”, B”, C”\) là ảnh của các điểm \(A, B, C\) trong phép vị tự \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\) (1)
Ta dễ dàng chứng minh được \(A_1',B_1',C_1'\) theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng \(H{A_1},H{B_1},H{C_1}\) nên:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {H{A_1}'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{A_1}} \cr
& \overrightarrow {H{B_1}'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{B_1}} \cr
& \overrightarrow {H{C_1}'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{C_1}} \cr} \) 
Như vậy \(A_1',B_1',C_1'\) theo thứ tự là ảnh của các điểm \(A_1, B_1, C_1\) trong phép vị tự \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\) (2)
e) Gọi \(A_2, B_2, C_2\) theo thứ tự là các điểm xuyên tâm đối của các điểm \(A, B, C\) qua tâm \(O\) của đường tròn. Ta dễ dàng chứng minh được tứ giác \(BHCA_2\) là hình bình hành, do đó \(H\) và \(A_2\) đối xứng qua \(A’\), ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {HA'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{A_2}} \cr
& \overrightarrow {HB'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{B_2}} \cr
& \overrightarrow {HC'} = {1 \over 2}\overrightarrow {H{C_2}} \cr} \)
Như vậy, các điểm \(A’, B’, C’\) theo thứ tự là ảnh của các điểm \(A_2, B_2, C_2\) trong phép vị tự \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\) (3)
Từ (1), (2), (3) ta có:
Chín điểm \(A’, B’,C’,A”, B”,C”\), \(A_1',B_1',C_1'\) theo thứ tự là ảnh của các điểm \(A,B,C,{A_1},{B_1},{C_1},{A_2},{B_2},{C_2}\) trong phép tự vị \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\) mà chín điểm \(A,B,C,{A_1},{B_1},{C_1},{A_2},{B_2},{C_2}\) nằm trên đường tròn \((O)\) nên chín điểm \(A,B,C,{A_1},{B_1},{C_1},{A_2},{B_2},{C_2}\) nằm trên đường tròn ảnh của đường tròn \((O)\) trong phép vị tự \({V_{\left( {H;{1 \over 2}} \right)}}\)