a) Xét (O;R) có gócAMB = gócANB = 90độ 
=> AM vg BM ; AN vg BN 
xét (B;BM) có M,N thuộc (B;BM) 
AM vg BM; AN vg BN 
suy ra AN,Am là các tiếp tuyến của (B;BM) 
b) Xét tam giác AMB vuông tại M, MH là đg cao 
=> MHbình = AH.HB 
có AB là đg kính cắt MN tại H => H là trug điểm MN 
=> MH = 1/2 MN 
thay vào biểu thức trên 
=> (MN/2)bình = AH.HB 
<=> MNbình = 4AH.HB 
c) Có AB là đg trung trực MN 
B thuộc AB => tam giác MNB cân tại B 
xét tam giác MAB có 
gócM+A+B = 180 
<=> 90 + 60 + B = 180 
<=> ABM = 30 
tam giác BNM cân tại B có BH là trung tuyến => BH đồng thời là phân giác 
=> góc NBH = MBH = MBN/2 
=> MBN = 60 
tam giác BNM cân tại B có góc MBN=60 => tam giác đều 
tam giác AMB vg tại M 
=> AM = sin(MBA).AB = 1/2 AB = AO 
tam giác AOM có: 
AO = AM 
A = 60 
=> AOM đều 
có MH là đg cao => MO đồng thời là trug tuyến => H là trg điểm AO 
=> HO = 1/2 AO = 1/2 BO 
=> HO = 1/3 BH => OB = 2/3 BH 
tam giác đều BNM có BH là trung tuyến 
O thuộc BH, BO = 2/3 BH 
=> O là trọng tâm 
d) ME là đg kính (O) => O là trug điểm ME 
Tam giác MNE có HO là đg trg bình ứng với NE 
=> HO // NE 
MF là đg kính (B) => B là trug điểm MF 
Tam giác MNF có HB là đg trg bình ứng với NF 
=> HB // NF 
theo định lý O'clit => NE trùng NF => N,E,F thẳng hàng