Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D

Để giải bài toán, ta tiến hành như sau:

### a) Chứng minh rằng 4 điểm B, D, M, O cùng thuộc một đường tròn.

1. **Tính chất điểm M**: M là một điểm nằm trên nửa đường tròn, vì vậy đoạn OM là bán kính và vuông góc với tiếp tuyến Ax tại M.

2. **Chứng minh góc**:
- Ta có ∠OMA = ∠CMA (góc bằng nhau vì các đoạn OA và CM là bán kính của đường tròn và chúng cắt nhau tại M).
- Tương tự, ∠OMB = ∠DMB.

3. **Sử dụng góc chắn**:
- Vì OM vuông góc với Ax tại M, nên ∠OMA = 90°.

4. **Góc đối**:
- Từ đó, ta có ∠OBA = ∠CMA + ∠MAB = 90° => B, D, M, O nằm trên một đường tròn nhờ tính chất góc nội tiếp.

### b) Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

1. **Đặt và xác định tiếp tuyến**:
- Ta biết rằng AB là đường nối giữa hai điểm A và B trên đường tròn, ngoài ra, CD là đoạn nối hai tiếp điểm C và D.

2. **Chứng minh tiếp tuyến**:
- Việc chứng minh AB là tiếp tuyến với đường tròn có tâm O và đi qua điểm D và C được thực hiện bằng cách kiểm tra góc giữa đoạn AB và đường nối OC (hoặc OD):
- AB vuông góc với OA và OB, và CD nằm trên nửa mặt phẳng của O, vì được tạo thành từ đoạn tiếp tuyến.

3. **Áp dụng định lý**: Căn cứ định lý về tiếp tuyến cắt nhau và góc chắn, ta có điều kiện rằng AB sẽ vuông góc với đường bán kính của điểm tiếp xúc với đường tròn tại D và C, từ đó khẳng định rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn CD.

### Kết luận

- Bằng việc sử dụng tính chất của các góc và đường tròn, ta đã chứng minh rằng 4 điểm B, D, M, O thuộc một đường tròn và AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD.