:

Bài 1:

a,

D,E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC và BC nên 

DE là đường trung bình của tam giác ABC ⇒DE//BC hay DE//BF

FE là đường trung bình của tam giác ABC⇒EF//AB hay EF//BD 

Suy ra tứ giác BDEF là hình bình hành

b,

DE//BC hay DE//KF suy ra DEFK Là hình thang

DF là đường trung bình trong tam giác ABC nên DF=12ACDF=12AC

Tam giác AKC vuông tại K có đường trung bình KE nên KE=12ACKE=12AC

Do đó DF=KE

Vậy DEFK là hình thang cân

Bài 2:

a,

Ta có:

O là giao điểm AC và BD nên O là trung điểm AC và BD

ΔAON=ΔCOM(g.c.g)⇒ON=OM(2 cạnh tương ứng)

Do đó M đối xứng với N qua O

b,

Theo chứng minh phần a thì AN=CM hay BN=DM

Ta có:

NF//AC⇒NFAC=BNABME//AC⇒MEAC=DMDCBNAB=DMDC⇒NFAC=MEAC⇔NF=MENF//AC⇒NFAC=BNABME//AC⇒MEAC=DMDCBNAB=DMDC⇒NFAC=MEAC⇔NF=ME

Tứ giác NFME có NF=ME và NF//ME//AC nên NFME là hình bình hành

c,

O là trung điểm của AC và BD nên O nằm trên AC và BD

NFME là hình bình hành nên NM cắt EF tại trung điểm mỗi đường

O là trung điểm MN nên O là trung điểm EF

Suy ra MN,EF, AC, BD cắt nhau tại O