Bài 3: Phép vi tự và sự đồng dạng của các khối đa diện. Các khối đa diện đều

Bài 12 (trang 20 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho một khối tứ diện đều, hãy chứng minh rằng.

a) Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.

b) Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tâm mặt đều

Lời giải:

a) Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD. A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D. Theo tính chất của trọng tâm tứ diện đều, ta có:

Nên V_G,1/3 biến A, B, C, D lần lượt thành A’, B’, C’, D’

hay V_G,-1/3 biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’ nên A’B’C’D’ là tứ diện dều.

b) Xét tứ diện đều ABCD. Gọi M,N, P, Q, E, F lần lượt làn trung điểm của cạnh Ab, BC, CD, DA, AC, BD.

Dễ thấy E cùng với 4 điểm M, N, P, Q là các đỉnh của khối chóp tứ giác E.MNPQ có 4 mặt bên là tam giác đều. Ta cũng có F.MNPQ là khối chóp tam giác đều.

Vậy M, N, P, Q, E, F là các đỉnh của một khối 8 mặt đều.