Bài 3: Phép vi tự và sự đồng dạng của các khối đa diện. Các khối đa diện đều

Bài 11 (trang 20 sgk Hình Học 12 nâng cao): Chứng minh rằng phép vị tự biến một đường thẳng a thành đường thẳng a’ song song a thành đường thẳng a’. hơn nữa (α) thành một mặt phẳng (α') song song hoặc trùng với α.

Lời giải:

- Do phép vị tự biến ba điểm thằng hành thành 3 điểm thằng hàng nên nó biến đường thẳng a thành a’. Hơn nữa a’ song song hoặc trùng với a

Thật vậy, trên a lấy điểm A, B; Giả sử V_0,k biến A thành A’ biến B thành B’.

Ta có:

- Trường hợp 1: K = 1 hoặc O ∈ a thì A’B’ = AB hay a = a’.

- Trường hợp 2: k ≠ 1 và O ∈a thì A’B’ // AB hay a’ // a

Phép vị tự V_0,k biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên biến hai đường thẳng cắt nhau thành hai đường thẳng cắt nhau. Vậy nó biến mp(α) thành mặt phẳng (α0'). Hơn nữa mp(α') song song hoặc trung với mp(α). Thật vậy:

- Nếu O ∈ (α) thì V_0,k biến A ∈(α) thành A’ sao cho OA'→=kOA→.

=> A'∈OA hay A'∈mp(α) suy ra mp(α')=mp(α).

- Nếu k=1 thì V_0,k) biến A ∈mp(α) thành A’ = A nến mp(α')=mp(α).

- Nếu O ∈ mp(α) và k ≠ 1. Trên mp(α) lấy hai đường thẳng a, b cắt a’, b tại A’ ( V_0,k biến A thành A’) và a’ // a, b’ // a. Nên mp(α) chứa a’, b’ song song với mp(α) chứa (a, b).