Bài 7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ

Bài 51 (trang 49 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của nó.

c) Tùy giá trị của m hay biện luận số nghiệm của phương trình

Lời giải:

a) TXĐ: D = R \{-2}

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -3) và (-1; +∞)

Hàm số nghịch biến trên (-3; -2)và (-2; -1)

y_CĐ=y(-3)=-7

y_CT=y(-1)=1

Vậy đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng.

Vậy đường thẳng y = 2x + 1 là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên.

Đồ thị giao với Oy là A(0; 2)

Đi qua B(1;1)

b) Giao điểm của 2 đường tiệm cận I(-2; -3)

Áp dụng công thức trục tọa độ

Đây là hàm số lể nên đồ thị có tâm đối xứng là điểm I.

c) Ta có hương trình là:

Vẽ 2 đường

trên cùng một hệ trục.

+ -m>1 <=> m<-1, đường thẳng y =-m cắt đồ thị tại 2 điểm => Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

+ -7<-m<1 <=> -1<m<7, đường thẳng y=-m không cắt đồ thị => Phương trình vô nghiệm.

+ -m<-7 => M > 7, đường thẳng y = -m cắt đồ thị tại 2 điểm => phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Kết luận:

m=-1,m=7 phương trình có 1 nghiệm.

-1<m<7 phương trình vô nghiệm.