Câu 12
1) √(5x + 10) = 8 - x (ĐKXĐ: -2 ≤ x ≤ 8)
<=> 5x + 10 = 64 - 16x + x^2
<=> x^2 - 16x + 64 - 5x - 10 = 0
<=> x^2 - 21x + 54 = 0
<=> x^2 - 18x - 3x + 54 = 0
<=> x(x - 18) - 3(x - 18) = 0
<=> (x - 3)(x - 18) = 0
<=> x = 3(thỏa) hoặc x = 18(loại)
Vậy S = (3)

Câu 12
2) √(3x^2 - 9x + 1) + x = 2 (ĐKXĐ : x ≤ 2)
<=> √(3x^2 - 9x + 1) = 2 - x
<=> 3x^2 - 9x + 1 = 4 - 4x + x^2
<=> 3x^2 - 9x + 1 - 4 + 4x - x^2 = 0
<=> 2x^2 - 5x - 3 = 0
<=> 2x^2 - 6x + x - 3 = 0
<=> 2x(x - 3) + (x - 3) = 0
<=> (x - 3)(2x + 1) = 0
<=> x = 3 (loại) và x = -1/2(thỏa)
Vậy S = (-1/2)

Câu 12
4) √(2x^2 + 3x + 7) = √(2x - 2) (ĐKXĐ : x ≥ 1)
<=> 2x^2 + 3x + 7 = 2x - 2
<=> 2x^2 + 3x + 7 - 2x + 2 = 0
<=> 2x^2 - x + 9 = 0
<=> 4x^2 - 2x + 18 = 0
<=> (2x - 1/2)^2 + 17,75 = 0 (vô lí)
Vậy pt vô nghiệm

5) √(x - 1) - 2√(2x + 1) = √(3x - 1) (ĐKXĐ : x ≥ 1)
<=> (x - 1) - 2√(x - 1)(2x + 1) + (2x + 1) = 3x - 1
<=> 3x - 2√(x - 1)(2x + 1) = 3x - 1
<=> 4(x - 1)(2x + 1) = 1
<=> 8x^2 - 4x - 4 = 1
<=> 8x^2 - 4x - 5 = 0
<=> 16x^2 - 8x - 10 = 0
<=> (4x - 1)^2 - 11 = 0
<=> (4x - 1 - √11)(4x - 1 + √11) = 0
<=> x = (√11 + 1)/4(chọn) hoặc (-√11 + 1)/4(loại)
Vậy S = ( (√11 + 1)/4 )

Câu 12
8) √(x^2 - 3x + 4) = 2x^2 - 6x + 2
<=> 2(x^2 - 3x + 4) - √(x^2 - 3x + 4) - 6 = 0
<=> 2(x^2 - 3x + 4) - 4√(x^2 - 3x + 4) + 3√(x^2 - 3x + 4) - 6 = 0
<=> 2√(x^2 - 3x + 4) (√(x^2 - 3x + 4) - 2) + 3(√(x^2 - 3x + 4) - 2)
<=> (√(x^2 - 3x + 4) - 2)( 2√(x^2 - 3x + 4) + 3) = 0
<=> √(x^2 - 3x + 4) = 2 hoặc 2√(x^2 - 3x + 4) = -3
<=> x^2 - 3x + 4 = 4 hoặc √(x^2 - 3x + 4) = -1,5(vô lí)
<=> x^2 - 3x = 0
<=> x = 0 hoặc x = 3
Vậy S = (0 ; 3)

Ta có a^3 + 1/8 + 1/8 ≥ 3a/4
         b^3 + 1/8 + 1/8 ≥ 3b/4
=> a^3 + b^3 + 1/2 ≥ (3a + 3b)/4
<=> a^3 + b^3 + 1/2 ≥ 3/4
<=> a^3 + b^3 ≥ 3/4 - 1/2
<=> a^3 + b^3 ≥ 1/4
Dấu "=" xảy ra <=> a = b =1/2

câu 14
2) Ta có (a - b)^2 ≥ 0
<=> a^2 - 2ab + b^2 ≥ 0
<=> a^2 + b^2 ≥ 2ab
<=> a^2 - ab + b^2 ≥ ab
<=> (a + b)(a^2 - ab + b^2) ≥ ab(a + b) (vì a + b ≥ 0)
<=> a^3 + b^3 ≥ ab(a + b)
<=> 6a^3 + 6b^3 ≥ 6ab(a + b)
<=> 8a^3 + 8b^3 ≥ 2a^3 + 2b^3 + 6ab(a + b)
<=> 8(a^3 + b^3) ≥ 2(a + b)^3
<=> (a^3 + b^3)/2 ≥ (a + b)^3/8
<=> (a^3 + b^3)/2 ≥ ((a + b)/2)^3
Dấu "=" xảy ra <=> a = b

câu 14
3) M = x + 4/(x - 3)
M = (x - 3) + 4/(x - 3) + 3
M ≥ 2√4(x - 3)/(x - 3) + 3 (bđt cô - si)
M ≥ 4 + 3
M ≥ 7
Dấu "=" xảy ra <=> (x - 3)^2 = 4
                       <=> x = 5 hoặc x = 1
                        <=> x = 5 (vì x > 3)
Vậy GTNN của M là 7 <=> x = 5

Câu 12
7) x^2 - 6x + 9 = 4√(x^2 - 6x + 6)
<=> (x^2 - 6x + 6) - 4√(x^2 - 6x + 6) + 4 - 1 = 0
<=> (√(x^2 - 6x + 6) - 2)^2 = 1
<=> √(x^2 - 6x + 6) - 2 = 1 hoặc √(x^2 - 6x + 6) - 2 = -1
<=> √(x^2 - 6x + 6) = 3 hoặc √(x^2 - 6x + 6) = 1
<=> x^2 - 6x + 6 = 9 hoặc x^2 - 6x + 6 = 1
<=> x^2 - 6x + 6 - 9 = 0 hoặc = x^2 - 6x + 6 - 1 = 0
<=> x^2 - 6x - 3 = 0 hoặc x^2 - 6x + 5 = 0
<=> (x - 3)^2 - 12 = 0 hoặc (x - 3)^2 - 4 = 0
<=> (x - 3 - √12)(x - 3 + √12) = 0 hoặc (x - 5)(x - 1) = 0
<=> x ∈ ( √12 + 3 ; -√12 + 3 ; 5 ; 1)
Vậy S = ( √12 + 3 ; -√12 + 3 ; 5 ; 1)

câu 12
9) x^2 + 3x - 4 - 2√(x - 1)(x + 4) = 1 (ĐKXĐ x ≥ 1 hoặc x ≤ -4)
<=> (x^2 + 3x - 4) - 2√(x^2 + 3x - 4) + 1 = 2
<=> ( √(x^2 + 3x - 4) - 1)^2 = 2
<=> √(x^2 + 3x - 4) - 1 = √2 hoặc √(x^2 + 3x - 4) - 1 = -√2
<=> √(x^2 + 3x - 4) = √2 + 1 hoặc √(x^2 + 3x - 4) = -√2 + 1 (vô lí)
<=> x^2 + 3x - 4 = 3 + 2√2
<=> x^2 + 3x - 7 - 2√2 = 0
<=> (x + 1,5)^2 - 9,25 - 2√2 = 0
<=> x + 1,5 = √(9,25 + 2√2) hoặc x + 1,5 = -√(9,25 + 2√2)
<=> x = √(9,25 + 2√2) - 1,5(chọn) hoặc -√(9,25 + 2√2) - 1,5(chọn)
Vậy S = ( √(9,25 + 2√2) - 1,5 ; -√(9,25 + 2√2) - 1,5)

câu 12
6) √(3 - x) - √(2x - 4) = 2 (ĐKXĐ 2 ≤ x ≤ 3)
<=> √(3 - x) = √(2x - 4) + 2
<=> 3 - x = (√(2x - 4) + 2)^2
<=> 3 - x = 2x - 4 + 4√(2x - 4) + 4
<=> 3 - x = 2x + 4√(2x - 4)
<=> 3 - 3x = 4√(2x - 4)
<=> ( 3 - 3x)^2 = 16(2x - 4)
<=> 9 - 18x + 9x^2 = 32x - 64
<=> 9 - 18x + 9x^2 - 32x + 64 = 0
<=> 9x^2 - 50x + 73 = 0
<=> (3x)^2 - 2 . 3x . 25/3 + (25/3)^2 - (25/3)^2 + 73 = 0
<=> (3x - 25/3)^2 + 32/9 = 0 (vô lí)
Vậy phương trình vô nghiệm

câu 14
4)Với a > 0 và b > 0
Ta có a + b ≥ 2√(ab)
và 1/a + 1/b ≥ 2√(1/ab)
=> (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 2√(ab) . 2√(1/ab)
<=> (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4√(ab/ab)
<=> (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4
<=> 2(a + b)(1/a + 1/b) ≥ 8

câu 14
5) Đặt M = (x + y)/z + (y + z)/x + (z + x)/y
M = x/z + y/z + y/x + z/x + z/y + x/y
M = (x/z + z/x) + (y/z + z/y) + (y/x + x/y)
M ≥ 2√(x/z . z/x) + 2√(y/z . z/y) + 2√(y/x . x/y) (bđt cô - si cho x,y,z > 0)
M ≥ 2 + 2 + 2
M ≥ 6
do đó (x + y)/z + (y + z)/x + (z + x)/y ≥ 6
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z
 

Câu 14
6) Ta có x,y,z > 0
=> 0 < x/(x + y) , y/(y + z) , z/(x + z) < 1
=> x/(x + y + z) + y/(x + y + z) + z/(x + y + z)< x/(x + y) + y/(y + z) + z/(x + z) < (x + z)/(x + y + z) + (y + x)/(x + y + z) + (z + y)/(x + y + z)
<=> (x + y + z)/(x + y + z) < x/(x + y) + y/(y + z) + z/(x + z) < (x + z + y + x + z + y)/(x + y + z)
<=> 1 < x/(x + y) + y/(y + z) + z/(x + z) < 2

câu 14
7) Đặt M = 1/√ab + 1/√bc + 1/√ca
2M = 2/√ab + 2/√bc + 2/√ca
2M ≤ 1/a + 1/b + 1/b + 1/c + 1/c + 1/a
2M ≤ 2/a + 2/b + 2/c
M ≤ 1/a + 1/b + 1/c
M ≤ (ab + bc + ca)/abc
do đó 1/√ab + 1/√bc + 1/√ca ≤ (ab + bc + ca)/abc
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c