Lý thuyết Bài 2: Hàm số lũy thừa

Xét hàm số lũy thừa y = x^α, α ∈ R .

1. Tập xác định D của hàm số lũy thừa tùy thuộc vào giá trị của α . Cụ thể:

• Nếu α nguyên dương thì D = R ;

• Nếu α nguyên âm hoặc bằng 0 thì D = R\{0} ;

• Nếu α không nguyên thì D = (0; +∞) .

2. Đạo hàm: y' = (x^α)' = α.x^{α - 1} (x > 0) .

3. Tính đơn điệu của hàm số lũy thừa( trên khoảng (0; +∞) ) tùy thuộc vào dấu của α . Cụ thể:

• Nếu α > 0 thì y đồng biến trên (0; +∞) .

• Nếu α < 0 thì y nghịch biến trên (0; +∞) .

Nhận xét: Từ đó ta thấy khi so sánh hai biểu thức lũy thừa cùng số mũ ( chẳng hạn a^α và b^α ) thì không nhưng ta cần so sánh giá trị của a và b mà còn phải xem xét đến dấu của α

Nói riêng, với nguyên dương, a, b > 0, ta có:

• a > b <=> aⁿ > bⁿ

Đồ thị của hàm số lũy thừa

• Luôn đi qua điểm (1;1);

• Nếu α > 0 thì đồ thị không có tiệm cận;

• Nếu α < 0 thì đồ thị nhận trục hoành làm tiệm cận ngang, nhận trục tung làm tiệm cận đứng.