câu 3
a.
áp dụng bdt Cosi cho 2 số, ta được
ab/c + bc/a >= 2√[(ab^2.c)/ac] = 2b
tương tự ta được bc/a + ca/b >= 2c
                             ab/c + ac/b >= 2a
suy ra 2(ab/c + bc/a + ca/b) >= 2(a + b + c)
suy ra ab/c + bc/a + ca/b >= a + b + c
dấu bằng xảy ra khi chỉ khi a = b = c

b.
xét: (a^2 + b^2)/(a - b)
= [(a - b)^2 + 2ab] / ( a - b)
= a - b + 2/(a - b) (vì ab = 1)
vì a > b suy ra a - b > 0
áp dụng bdt Cosi cho 2 số thực dương, ta được
a - b + 2/(a - b) >= 2√(2)
dấu bằng xảy ra khi chỉ khi (a - b)^2 = 2
suy ra a - b = √(2)
thay a = b + √(2) vào tích ab, ta được
b.(b + √(2)) = 1
giải ta được b = (√(6) - √(2))/2 hoặc b = (-√(6) - √(2))/2
từ b thay vào điều kiện ban đầu sẽ tìm được a

câu 4
a.
ta có (a - b)^2 >= 0 với moi a, b
suy ra a^2 - 2ab + b^2 >= 0 với mọi a, b
suy ra a^2 + 2ab + b^2 >= 4ab
suy ra (a + b)^2 >= 4ab
vì a, b lớn hơn 0 suy ra ab >= 0
suy ra (a + b)/2 >= √(ab)
b.
xét hiệu, ta được a + b + c - √(ab) - √(bc) - √(ca)
= 1/2 . (2a + 2b + 2c - 2√(ab) - 2√(bc) - 2√(ca))
vì a, b, c >= 0 suy ra √(a), √(b), √(c) >= 0
suy ra đẳng thức trên trở thành 1/2. [(√(a) - √(b))^2 + (√(b) - √(c))^2 + (√(c) - √(a))^2]
vì (√(a) - √(b))^2 + (√(b) - √(c))^2 + (√(c) - √(a))^2 >= 0 với mọi a, b, c tmdk
suy ra 1/2. [(√(a) - √(b))^2 + (√(b) - √(c))^2 + (√(c) - √(a))^2] >= 0 với mọi a, b, c tmdk
suy ra bdt được chứng minh