Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1;1;1), B(0;1;2), C(-2;1;4) và mặt phẳng (P): x-y+z+2=0. Tìm điểm N∈(P) sao cho S=2NA2+NB2+NC2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Đáp án D

Với mọi điểm I ta có: S=2(NI→+IA→)2+(NI→+IB→)2+(NI→+IC→)2

=4NI2+2NI→(2IA→+IB→+IC→)+2IA2+IB2+IC2

Chọn điểm I sao cho: 2IA→+IB→+IC→=0→

2IA→+IB→+IC→=0→⇔4IA→+AB→+AC→=0→.

Suy ra tọa độ điểm I là I(0;1;2).

Khi đó S=4NI2+2IA2+IB2+IC2,  do đó S nhỏ nhất khi N là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P).

Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P) là:  x=0+ty=1−tz=2+t .

Tọa độ điểm N(t;1−t;2+t)∈(P)⇒t−1+t+2+t+2=0⇔t=−1⇒N(−1;2;1).