Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M,{\mkern 1mu} N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\), \(CD\). \(G\) là trung điểm của \[MN\], \[I\] là giao điểm của đường thẳng \[AG\] và mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\]. Tính tỉ số \[\frac\]?

Phương pháp giải:

Vẽ hình sau đó sử dụng định lý Ta-lét trong tam giác.

Giải chi tiết:

Trog \(\left( {ABN} \right)\) qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(AI\) cắt \(BN\) tại \(J\).

Xét tam giác \(MNJ\) ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{GI//MJ}\\{GN = GM{\mkern 1mu} \left( {gt} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow GI = \frac{1}{2}.MJ{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)\)

Xét tam giác \(BAI\) ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MJ//AI}\\{MA = MB}\end{array}} \right. \Rightarrow MJ = \frac{1}{2}.AI{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)\)

Từ (1) & (2) \( \Rightarrow GI = \frac{1}{4}.AI \Leftrightarrow \frac = \frac{1}{3}.\)