Cho F⁢(x)=xπ là một nguyên hàm của hàm số f⁢(x).πx. Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right).{\pi ^x}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = {\pi ^x}}\\{dv = f'\left( x \right)dx}\end{array}} \right.\).

Giải chi tiết:

Đặt \(I = \int {f'\left( x \right).{\pi ^x}dx} \).

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = {\pi ^x}}\\{dv = f'\left( x \right)dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{du = {\pi ^x}\ln \pi }\\{v = f\left( x \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow I = {\pi ^x}f\left( x \right) - \ln \pi \int {{\pi ^x}f\left( x \right)dx} \).

Vì \(F\left( x \right) = {x^\pi }\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right).{\pi ^x}\) ⇒{F'(x)=f(x)πx∫f(x)πxdx =F(x)+C=xπ+C

⇒π.xπ⁢⁢ -1=f⁢(x).πx⇒f⁢(x)=π.xπ⁢⁢ -1πx.

⇒I=πx⁢π.xπ⁢⁢ -1πx-xπ⁢ln⁡π⁢⁢ +C

⇒I=π.xπ⁢ -1-xπ⁢ln⁡π⁢⁢ +C.