Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA' và BB'. Đường thẳng CM cắt đường thẳng C’A' tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C’B' tại Q. Thể tích của khối đa diện lồi A’MPB’NQ bằng:

Phương pháp giải: Phân chia khối đa diện: \[{V_{A'MPB'NQ}} = {V_{C.C'PQ}} - {V_{CC'A'B'NM}}\]. Xác định các tỉ số về chiều cao và diện tích đáy để suy ra tỉ số giữa chóp, lăng trụ,…

Giải chi tiết:

Gọi diện tích đáy, chiều cao, thể tích của hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\]lần lượt là \[S,h,V \Rightarrow V = Sh\].

Ta có: \[\Delta PQC' \sim \Delta A'B'C'\;\]theo tỉ số 2

\[ \Rightarrow {S_{C'PQ}} = 4{S_{A'B'C'}} = 4S.\].

\[ \Rightarrow {V_{C.C'PQ}} = \frac{1}{3}.h.4S = \frac{4}{3}V.\]

Ta có : \[{S_{ABNM}} = \frac{1}{2}{S_{ABB'A'}} \Rightarrow {V_{C.ABNM}} = \frac{1}{2}{V_{C.ABB'A'}}\]

Mà \[{V_{C.ABB'A'}} = \frac{2}{3}V \Rightarrow {V_{C.ABNM}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}V = \frac{V}{3}3\]

\[ \Rightarrow {V_{CC'A'B'NM}} = V - \frac{V}{3} = \frac{2}{3}V\]

Vậy \[{V_{A'MPB'NQ}} = \frac{4}{3}V - \frac{2}{3}V = \frac{2}{3}V\].

Chọn D.