Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(9; 3; 1) bán kính bằng 3 . Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc 2 trục Ox, Oz sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với (S), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng 132 . Gọi A là tiếp điểm của MN và (s), giá trị AM. AN bằng

Đáp án đúng là: A

I(9; 3 ; 1)  d  = 3 = R Þ (S) tiếp xúc với (Oxz)

Gọi M( a; 0; 0) Î Ox⇔

N(0; 0; b) Î Oz

MN tiếp xúc với (S) tại A nên A là hình chiếu của I lên (Oxz)

Suy ra A(9; 0; 1)

Gọi K là trung điểm MN Þ Ka2;0;b2

Gọi H là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN Þ OH =132 Þ HK MN

Gọi T là trung điểm OM ÞOM⊥KTOM⊥HT Þ OM (KHT)

Þ OM  HK Þ HK (OMN)

Mà IA (OMN) Þ HK// IA

Ta có :AI→  = (0; 3; 0)

 KH→=xH−a2;yH−0;zH−b2

 AI→cùng phương KH→ nên xH=a2yH=c(c≠0)zH=b2

⇒H a2;c;b2

ỌH = 132⇒a22 + c² +b24 =  1694 (1)

HI = OH =132⇒a2−92 +c−32 +b2−12 =1694 (2)

Từ (1) và (2) suy ra a22 + c² +b24 =a2−92 +c−32 +

⇒9a + b + 6c = 91 (3)

 AM→= (a − 9; 0; −1)

 AN→= (−9; 0; b − 1)

A, M, N thẳng hàng a−9−9=−1b−1

(a − 2)(b − 1) = 9

ab − a − 9b + 9 = 9

ab − a − 9b = 0

a(b − 1) = 9b

a =9bb−1

Từ (3)⇒ 9.9bb−1 + b + 6c = 91

81bb−1+ b + 6c = 91

b2+80bb−1+ 6c = 91 6c = 91 −b2+80bb−1 =−b2+11b−91b−1

c =−b2+11b−916(b−1)

Ta có a² + 4c² + b² = 169

⇔+ 4−b2+11b−916(b−1)2 + b² = 169

⇔9.81b² + (b⁴ + 121b² +8281− 22b³ + 182b² − 2002b) + 9b²(b − 1)² = 169 . 9 . (b − 1)²

⇔729b² + b⁴ +121b² +8281 − 22b³ + 182b² − 2002b + 9b⁴ − 18b³ +9b² = 1521b² − 3042b +1521

⇔10b⁴ − 40b³ − 480b² + 1040b +6760 = 0

b=1+33⇒a=91+3333=9+3b=1−33⇒a==91−33−33=9−3

+ Trường hợp 1: a = 9 +3 ; b = 1 + 3 ÞAM→ =3;0;−1 Þ AM = 2

ÞAN→ =−9;0;33 ÞAN =108

AM.AN = 2.108  = 123

+ Trường hợp 2: a = 9 −3 ; b = 1 − 33 ÞAM→ =−3;0;−1 Þ AM = 2

ÞAN→ =−9;0;−33 Þ AN =108

AM.AN = 2. 108  = 123