Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + z - 3 = 0\] và đường thẳng \[d:\frac{1} = \frac{y}{1} = \frac{{ - 1}}.\] Mặt phẳng \[\left( Q \right):ax + by + cz - 4 = 0\] chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P). Tính \[a + b + c.\]

Đáp án A

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right).\)

Đường thẳng d có một VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right).\)

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nhận \(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow n } \right]\) là một VTPT.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\vec u = \left( {1;1; - 1} \right)\\\vec n = \left( {1; - 2;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\vec u;\vec n} \right] = \left( { - 1; - 2; - 3} \right)\) \( \Rightarrow \left( Q \right)\) nhận \(\overrightarrow = \left( {1;2;3} \right)\) là một VTPT.

Kết hợp với \(\left( Q \right)\) qua \(A\left( {1;0;1} \right) \Rightarrow \left( Q \right):1.\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 0} \right) + 3\left( {z - 1} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \left( Q \right):x + 2y + 3z - 4 = 0.\)