Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=x2+mx+2mx+1 có hai điểm cực trị A,B và tam giác OAB vuông tại O. Tổng tất cả các phần tử của S là:

ĐKXĐ:  D=ℝ∖−1

Ta có:  y=x2+mx+2mx+1=x+m−1+m+1x+1

⇒y'=1−m+1x+12=x2+2x−mx+12

Khi đó, giả sử  x1,  x2 là nghiệm phân biệt của phương trình y'=0 , áp dụng định lí Vi-ét ta có x1+x2=−2x1.x2=−m

Đặt Ax1;x1+m−1+m+1x1+1,  Bx2;x2+m−1+m+1x2+1 là hai điểm cực trị của hàm số.

Để tam giác OAB vuông tại O thì OA→.OB→=0

⇔x1.x2+(x1+m−1+m+1x1+1)(x2+m−1+m+1x2+1)=0

⇔2x1.x2+(m−1)(x1+x2)+(m+1)(x1x2+1+x2x1+1)

+(m−1)2+(m2−1)(1x1+1+1x2+1)+(m+1)2(x1+1)(x2+1)=0

⇔2x1.x2+(m−1)(x1+x2)+(m+1)x12+x22+x1+x2x1x2+x1+x2+1

+(m−1)2+(m2−1)x1+x2+2x1x2+x1+x2+1+(m+1)2x1x2+x1+x2+1

x1.x2+(m−1)(x1+x2)+(m+1)(x1+x2)2−2x1x2+x1+xx1x2+x1+x2+1

+(m−1)2+(m2−1)x1+x2+2x1x2+x1+x2+1+(m+1)2x1x2+x1+x2+1

⇔−2m−2(m−1)+(m+1).2+2m−m−1+(m−1)2+(m+1)2−m−1=0

⇔−2m−2m+2−2−2m+m2−2m+1−m−1=0

⇔m2−9m=0⇔m=0m=9tm

⇒S=0;9

Vậy tổng tất cả các phần tử của S là 9.

Đáp án cần chọn là: A