Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=x8+(m−2)x5−(m2−4)x4+1 đạt cực tiểu tại x = 0?

Ta có

y'=x3[8x4+5x(m−2)−4(m2−4)]=0

⇔x=0g(x)=8x4+5x(m−2)−4(m2−4)=0

Do x=0  là một nghiệm của đạo hàm nên hàm số đạt cực tiểu tại x=0 ⇔y′ đổi dấu từ − sang + khi qua nghiệm x=0

*) TH1: x=0  là nghiệm của g(x) hay m=±2

Với m = 2  thì gx=0 có nghiệm x=0 bội 4 theo kết quả ở trên thì x=0 là nghiệm bội 7  của y′  nên x=0  là điểm cực tiểu của hàm số nên chọn m=2 .

Với m=−2  thì g(x) có nghiệm x=0 và 1 nghiệm dương, lúc này x=0 là nghiệm bội 4 của f′(x) nên x=0 không là điểm cực trị của hàm số. Loại m=−2

*) TH2:x=0 không là nghiệm của g(x) hay m≠±2 . Ta có g0=−4m2−4

y'=x3gx đổi dấu từ − sang + qua nghiệm x=0 khi và chỉ khi limx→0+g(x)>0limx→0−g(x)>0

⇔−4m2−4>0⇔m2−4<0⇔−2

Do m nguyên nên m∈−1;0;1

Kết hợp hai trường hợp ta được m∈−1;0;1;2

Đáp án cần chọn là: C