Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(f'\left( x \right) - f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^{3x}}\), với mọi \(x \in R\). Biết \(f\left( 0 \right) = \frac{5}{4}\), giá trị \(f\left( 1 \right)\) bằng:

Phương pháp giải

Bước 1: Nhân cả 2 vế với \({e^{ - x}}\) để đưa về đạo hàm tích

Bước 2: Ta tìm được muối liên hệ ở Bước 1 và tìm được \(f\left( x \right)\)

Bước 3: Thay dữ kiện đề bài để tìm giá trị của hằng số C

Bước 4: Tìm \(f\left( 1 \right)\)

Lời giải

Ta có:

\(f'\left( x \right) - f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^{3x}}\)

\( \Leftrightarrow {e^{ - x}}f'\left( x \right) - {e^{ - x}}f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^{2x}}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{e^{ - x}}f\left( x \right)} \right)^{\rm{'}}} = \left( {x + 1} \right){e^{2x}}\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}{e^{ - x}}f(x) = \int {(x + 1)} {e^{2x}}dx\\ = \int {\frac{1}{2}} (x + 1)d\left( {{e^{2x}}} \right)\\ = \frac{1}{2}(x + 1).{e^{2x}} - \frac{1}{2}\int {{e^{2x}}} d(x + 1)\\ = \frac{1}{2}(x + 1).{e^{2x}} - \frac{1}{2}\int {{e^{2x}}} dx\\ = \frac{1}{2}(x + 1){e^{2x}} - \frac{1}{4}{e^{2x}} + C\end{array}\)

Do \(f\left( 0 \right) = \frac{5}{4}\) nên: \(\frac{1}{4} + C = \frac{5}{4} \Leftrightarrow C = 1\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {x + 1} \right){e^{3x}} - \frac{1}{4}{e^{3x}} + {e^x}\)

Vậy \(f\left( 1 \right) = \frac{3}{4}{e^3} + e\).

 Chọn C