Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có Ax0;0;0, B−x0;0;0, C0;1;0 và B'−x0;0;y0, trong đó x0;y0 là các số thực dương và thỏa mãn x0+y0=4 . Khi khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và B'C lớn nhất thì bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A'B'C' bằng bao nhiêu?

Đáp án D.

Ta tìm được A'x0;0;y0,C'0;1;y0.

Gọi (P) là mặt phẳng chứa AC' và song song với B'C thì P:y0x+x0z−x0y0=0.

Do đó

dAC',B'C=dC,P=x0y0x02+y02≤22.x0y0≤24x0+y0=2

Dấu bằng xảy ra khi x0=y0=2.

Tam giác ABC có AB=4;AC=BC=5 nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp là r=52. Ta lại có BB'=2 nên mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A'B'C' có bán kính R=r2+14BB'2=292.