Xét các tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi V1,V2 và V3 lần lượt là thể tích của các khối tròn xoay sinh ra khi quay tam giác OCA quanh trung trực của đoạn thẳng CA, quay tam giác OAB quanh trung trực của đoạn thẳng AB và quay tam giác OBC quanh trung trực của đoạn thẳng BC. Tính V3 theo R khi biểu thức V1+V2 đạt giá trị lớn nhất.

Đáp án B.

Đặt a=BC,b=CA,c=AB.

Quay tam giác OCA quanh trung trực của đoạn thẳng CA thì khối tròn xoay sinh ra là khối nón có chiều cao h1=R2−14b2 và bán kính đáy r1=12b nên ta có V1=13πr12h1=124πb24R2−b2.

Tương tự, ta có

V2=124πc24R2−c2;V3=124πa24R2−a2.

Bằng việc khảo sát hàm số ft=t24R2−t trên khoảng 0;4R2 hoặc dựa vào bất đẳng thức Cô-si

12b2.12b2.4R2−b2≤12b2+12b2+4R2−b233=6427R6.

Ta được V1≤2π39R3;V2≤2π39R3. Suy ra V1+V2≤4π39R3.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b=c=263R.

Vậy V1+V2 đạt giá trị lớn nhất bằng 4π39R3 khi b=c=263R.

Khi đó tam giác ABC cân tại A và có AB=AC=263R.

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC thì 2R.AH=AB2. Từ đó suy ra AH=AB22R=43R. Do đó OH=AH−R=13R và a=2R2−OH2=423R.

Suy ra V3=8π81R3.