Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z – 1|² + |z − z¯|i + (z + z¯)i²⁰²³ = 1?

Đáp án đúng là: C

Gọi z = a + bi (a, b ∈ ℝ)

Þ z¯ = a – bi

Ta có:

• z – 1 = a – 1 + bi

Þ |z – 1|² = (a – 1)² + b².

• z − z¯ = 2bi

Þ z−z¯=2b2=2b

Þ z−z¯i=2bi

• z + z¯ = 2a

• i²⁰²³ = i21011. i = −i       

Þ (z + z¯)i²⁰²³ = –2ai

Do đó: |z – 1|² + |z − z¯|i + (z + z¯)²⁰²³ = 1

Û (a – 1)² + b² + 2|b|i – 2ai = 1

Û (a – 1)² + b² + (2|b| – 2a)i = 1

Û (a−1)2+b2=12b−2a=0 Û  a2−2a+b2=0a=b

⇔a2−2a+a2=0a=b

⇔2a2−2a=0a=b ⇔2aa−1=0a=b

Û a=0a=1a=b 

• Với a = 0 ta có b = 0 khi đó ta có z = 0.

• Với a = 1 ta có |b| = 1 Þ b = 1 hoặc b = –1

Khi đó ta có z = 1 + i; z = 1 – i.

Vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.