Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số y=x3−32m+1x2+12m+5x+2 đồng biến trên khoảng 2;+∞. Số phần tử của S bằng:

Phương pháp giải: Hàm số y=fx đồng biến trên a; b⇔f'x≥0  ∀x∈a; b.

Giải chi tiết:

Xét hàm số: y=x3−32m+1x2+12m+5x+2

⇒y'=3x2−62m+1x+12m+5 ⇒y'=0⇔3x2−62m+1x+12m+5=0*

TH1: Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ

⇔y'≥0∀x⇔Δ'≤0⇔92m+12−312m+5≤0⇔94m2+4m+1−36m−15≤0

⇔36m2−6≤0⇔m2≤16⇔−66≤m≤66

TH2: Hàm số đã cho đồng biến trên 2;+∞

⇔* có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn 2≤x1

⇔Δ'>0x1−2x1−2≥0x1+x2>4⇔36m2−6>0x1x2−2x1+x2+4≥0x1+x2>4

⇔m2>1612m+53−2.62m+13+4≥062m+13>4⇔m>66m<−6612m+5−24m−2+12≥04m+2>4

⇔m>66m<−66−12m≥−15m>12⇔m>66m<−66m≤54m>12⇔12

Kết hợp hai trường hợp ta được: −66≤m≤6612

Lại có: m∈ℤ+⇒m=1.