Cho hàm số y=fx liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình dưới. Tìm m để bất phương trình fx≥x+1x+2+m nghiệm đúng với mọi x∈0;1.

Phương pháp giải: - Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng m≤gx∀x∈0;1⇔m≤min0;1gx.

- Chứng minh hàm số gx đơn điệu trên 0;1 và suy ra min0;1gx.

Giải chi tiết:

Ta có:

fx≥x+1x+2+m∀x∈0;1 ⇔m≤fx−x+1x+2=gx∀x∈0;1 ⇔m≤min0;1gx

Xét hàm số gx=fx−x+1x+2 trên 0;1 ta có: g'x=f'x−1x+22.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số y=fx nghịch biến trên 0;1 nên f'x≤0∀x∈0;1, lại có −1x+22<0∀x∈0;1, do đó g'x<0∀x∈0;1, suy ra hàm số y=gx nghịch biến trên 0;1 nên min0;1gx=g1=f1−23.