Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \[\left[ {0\,;\,\, + \infty } \right)\] và thỏa mãn \(f\left( x \right) = \sqrt x + \int_0^1 x \cdot f\left( {{x^4}} \right){\rm{d}}x.\) Giá trị của tích phân \(I = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)} \,dx\) bằng

Đặt \(k = \int\limits_0^1 {x \cdot f\left( {{x^4}} \right){\rm{d}}x} \) suy ra \(f(x) = \sqrt x  + k \Rightarrow f\left( {{x^4}} \right) = \sqrt {{x^4}}  + k = {x^2} + k.\)

Do đó \[k = \int\limits_0^1 {x \cdot f\left( {{x^4}} \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {x \cdot \left( {{x^2} + k} \right){\rm{d}}x}  \Leftrightarrow k = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + kx} \right){\rm{d}}x} \]

\( \Leftrightarrow k = \int\limits_0^1 {{x^3}dx}  + k \cdot \int\limits_0^1 {x\,dx}  \Leftrightarrow k = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}k \Leftrightarrow k = \frac{1}{2}.\)

Vậy \(f\left( x \right) = \sqrt x  + \frac{1}{2} \Rightarrow \int\limits_0^4 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_0^4 {\left( {\sqrt x  + \frac{1}{2}} \right)} \,\,{\rm{d}}x = \frac{3}.\) Chọn D.