Trong một lớp học có 2n + 3 học sinh (n nguyên dương), gồm Hoa, Hồng, Cúc và học sinh khác. Xếp tùy ý 2n + 3 học sinh trên ngồi vào một dãy ghế được đánh số từ 1 đến2n + 3, mỗi học sinh ngồi một ghế. Giả sử Hoa, Hồng, Cúc được sắp xếp ngồi vào các ghế được đánh số lần lượt là x, y, z và gọi p là xác suất để x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Biết p=12575, mệnh đề nào sau đây đúng?

Đáp án B

Số phần tử không gian mẫu là số cách xếp (2n+3) học sinh vào ghế.

Khi đó nΩ=2n+3!.

Gọi T là biến cố: “Hoa, Hồng, Cúc được sắp xếp ngồi vào

các ghế được đánh số lần lượt là x, y, z sao cho y=x+z2 ”.

Suy ra x + z chia hết cho 2. Khi đó, bài toán trở thành:

xếp Hoa và Cúc vào 2 chỗ x và z thỏa mãn tổng x + z

là số chẵn (khi đó y=x+z2 là duy nhất nên sẽ có duy nhất

một cách xếp cho Hồng. Ta có 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1: x, z cùng lẻ.

Do từ 1 đến 2n + 3 có n + 2 số lẻ, nên trường hợp này có An+2n.2n!  cách xếp.

Trường hợp 2: x, z cùng chẵn.

Do từ 1 đến 2n + 3 có n + 1 số chẵn, nên trường hợp này có An+12.2n!   cách xếp.

Khi đó số phần tử của biến cố T là: nT=An+22+An+12.2n!.

Theo bài ra ta có: p=nTnΩ=An+22+An+12.2n!2n+3!=12575  *.

Ta có: *⇔n+1n+2+nn+12n+12n+22n+3=12575⇔n+2+n22n+12n+3=12575

 (do n + 1 > 0).

⇔48n2−479n−539=0⇔n=11 (thỏa mãn)n=−4948 (loại)

Vậy n=11≤15 thỏa mãn yêu cầu đề bài.