Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) và \(g\left( x \right) = x + \frac{4}{{{x^2}}}.\) Trên đoạn \[\left[ {1\,;\,\,4} \right],\] hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có cùng giá trị nhỏ nhất và đạt tại cùng một điểm. Biết rằng điểm \(A\left( {1\,;\,\,4} \right)\) thuộc đồ thị của hàm số \(f\left( x \right).\) Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \[\left[ {1\,;\,\,4} \right]\] là

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + b\,;\,\,g'\left( x \right) = 1 - \frac{8}{{{x^3}}}\).

Xét \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{8}{{{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

Ta có: \(g\left( 1 \right) = 5\,;\,\,g(2) = 3\,;\,\,g(4) = \frac{4} \Rightarrow {\min _{\left[ {1\,;\,\,4} \right]}}g\left( x \right) = 3\) tại \(x = 2.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( 2 \right) = 0}\\{ - \frac{6} = 2}\\{f\left( 2 \right) = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{12 + 4a + b = 0}\\{a =  - 6}\\{8 + 4a + 2b + c = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 6}\\{b = 12.}\\{c =  - 5}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Khi đó, \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x + 12 = 3{\left( {x - 4} \right)^2} \ge 0\)

\( \Rightarrow f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R} \Rightarrow {\max _{\left[ {1\,;\,\,4} \right]}}f\left( x \right) = 11.\) Chọn C.